高等代數(shù)【北大版】(19)-資料下載頁
2025-10-07 06:35本頁面
【正文】 ? 0 E? ?五、線性變換的多項(xiàng)式 1． 線性變換的冪 設(shè) 為線性空間 V的線性變換， n為自然數(shù)，定義 ?稱之為 的 n次冪 . ?167。 線性變換的運(yùn)算 ① 易證 ? ?, , , 0nm n m n m m n mn? ? ? ? ?? ? ? ?注： ? ?1 nn?????② 當(dāng) 為可逆變換時(shí)，定義 的 負(fù)整數(shù)冪 為 ? ?③ 一般地， ? ? .n nn?? ? ??167。 線性變換的運(yùn)算 設(shè) ? ? 10 [ ] ,mmf x a x a x a P x? ? ? ? ?? 為 V的一個(gè)線性變換，則 10() mmf a a a E? ? ?? ? ? ?2． 線性變換的多項(xiàng)式 多項(xiàng)式 . 也是 V的一個(gè)線性變換，稱 為線性變換 的 ?()f ?167。 線性變換的運(yùn)算 注： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,h x f x g x p x f x g x? ? ?① 在 中，若 []Px則有， ? ? ? ? ? ? ,h f g? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?f g g f? ? ? ?? ? ?即線性變換的多項(xiàng)式滿足加法和乘法交換律 . ? ? ? ? ? ?p f g? ? ??② 對(duì) 有 ( ) , ( ) [ ] ,f x g x P x??? ? ? ? ? ? ? ?f g g f? ? ? ??167。 線性變換的運(yùn)算 證明： 1 , 1 .k k kkk? ? ? ? ? ?? ? ?練習(xí)： 設(shè) 為線性變換，若 ,?? ,E? ? ????證：對(duì) k作數(shù)學(xué)歸納法 . 當(dāng) k=2時(shí)，若 ,E? ? ???? ① 對(duì)① 兩端左乘 ，得 ? 2 ,? ? ? ?? ???對(duì)① 兩端右乘 ，得 ? 2 ,? ?? ?? ???上兩式相加，即得 2 2 2 12 2 .? ? ? ? ? ? ?? ? ?167。 線性變換的運(yùn)算 ② 1 1 2( 1 ) .k k kk? ? ? ? ?? ? ?? ? ?對(duì)② 兩端左乘 ，得 ?對(duì)① 兩端右乘 得 1,k? ?③ 11( 1 ) ,k k kk? ? ? ? ? ???? ? ?11 ,k k k? ? ? ? ? ?????④ ③ ＋④，得 1 .k k kk? ? ? ? ? ???假設(shè)命題對(duì) 時(shí)成立，即 1k?由歸納原理，命題成立 ..
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