高等代數(shù)【北大版】(20)-資料下載頁
2024-10-16 06:35本頁面
【正文】 1,niiiae??? ? ?所以 是滿射 . ?再由 的定義，有 ? ( ) , 1 , 2 , ,ii e i n?? ??( ) ( ) ( ) ,? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ,kk? ? ? ??易證，對 有 1, kPV??? ????所以 是 V1到 V2的一個同構(gòu)映射，故 ?則有 使 11,niiiaV?????? ( ) .? ? ? ??167。 線性空間的同構(gòu) 例 把復(fù)數(shù)域看成實(shí)數(shù)域 R上的線性空間， 證法一 ：證維數(shù)相等 證明： 2CR?首先， 可表成 1 , ,x a bi a b R? ? ?,x C x??其次，若 則 bi a b ?1+ = 0, =所以， 1， i 為 C的一組基， d im ?又， 2dim 2R ?2d i m d i m .CR?所以， ?故， 167。 線性空間的同構(gòu) 證法二 ：構(gòu)造同構(gòu)映射 則 為 C到 R2的一個同構(gòu)映射 . ?作對應(yīng) ? ? ? ?2: , , .C R a bi a b??? ? ?作成實(shí)數(shù)域 R上的線性空間 . 把實(shí)數(shù)域 R看成是自身上的線性空間 . , ka b a b k a a? ? ?例 全體正實(shí)數(shù) R+ 關(guān)于加法 ⊕ 與數(shù)量乘法 ： 證明： 并寫出一個同構(gòu)映射 . ,RR? ?167。 線性空間的同構(gòu) 證 ：作對應(yīng) ? ?: , ln ,R R a a a R????? ? ? ?易證 為 的 1－ 1對應(yīng) . ? RR?到且對 有 , , ,a b R k R?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?ln ln lna b a b a b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?ln lnkkk a a a k a k a? ? ?? ? ? ?所以， 為 的同構(gòu)映射 . ? RR?到 故 .RR? ?方法二 ：作對應(yīng) ? ?: , ,xR R x e x R?? ?? ? ? ?易證： 為 的 1－ 1對應(yīng)，而且也為同構(gòu)映射 . RR?到?事實(shí)上， 為 的逆同構(gòu)映射 . ? ?167。 線性空間的同構(gòu) 2）證明：復(fù)數(shù)域 C看成 R上的線性空間與 W同構(gòu)， 設(shè) 集合 ? ?? ?,abW a b Rba???練習(xí) 1）證明： W為 的子空間，并求出 W的維數(shù) 22R?與一組基 . 并寫出一個同構(gòu)映射 .
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