高等代數(shù)【北大版】(28)-資料下載頁(yè)
2025-10-07 06:36本頁(yè)面
【正文】 ?????????????c3+2c2 r3+2r2 2000 2 40 0 61 1 11 1 10 0 1??????????????2 0 00 00 0 61 1 31 1 10 0 1???????????????167。 標(biāo)準(zhǔn)形 作非退化線性替換 X=CY, 則二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形 2221 2 3 1 2 3( , , ) 2 2 6f x x x y y y? ? ?令 1 1 31 1 1 ,0 0 1C??? ? ?????則 20039。 0 2 0 ,0 0 6C AC????????167。 標(biāo)準(zhǔn)形 ① 對(duì) A每施行一次合同變換后所得矩陣必仍 為對(duì)稱矩陣 .（因?yàn)楹贤儞Q保持矩陣的對(duì) 稱性－－可利用這一點(diǎn)檢查計(jì)算是否正確 .） ② 對(duì) A作合同變換時(shí)，無(wú)論先作行變換還是 先作列變換，結(jié)果是一致的 . ③ 可連續(xù)作 n次初等行（列）變換后，再依次作 n次相應(yīng)的初等列（行）變換 . 說(shuō)明 ： 167。 標(biāo)準(zhǔn)形 作非退化線性替換 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為 練習(xí)： 求下面二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，并求出所作的非退化線替性換 . 答案： 221 2 3 4 1 1 2 1 3 1 4 2( , , , ) 4 4 2 2f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ?22 3 2 4 3 4 42 2 2x x x x x x x? ? ? ?1 2 1 10 1 3 1,0 0 2 10 0 0 1X CY C??????????????其 中2 2 21 2 322y y y??167。 標(biāo)準(zhǔn)形 的矩陣為 詳解： ? ?AE1 0 0 0223123411 1 1 01 2 2 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1?????????????????????????????21314122cccccc????? ???1 2 3 4( , , , )f x x x x1 2 2 12 2 1 12 1 0 11 1 1 1A?????????2131411 0 0 02 02312 03410 1 1 01 2 2 10 1 0 00 0 1 00 0 0 1rrrrrr??? ?????? ?????? ??????????????????????167。 標(biāo)準(zhǔn)形 32421 0 0 00 2 0 011032211012231 2 1 12 31011222 0 0 1 00 0 0 1cccc?????????????????????????????? ?????????32421 0 0 00 2 0 031100222111002221 2 1 03101220 0 1 00 0 0 1rrrr?????? ????????????????????? ????????167。 標(biāo)準(zhǔn)形 431 0 0 00 2 0 010 0 0210 0 021 2 1 130 1 120 0 1 10 0 0 1cc??????????????????????????? ????????431 0 0 00 2 0 010 0 020 0 0 01 2 1 130 1 120 0 1 10 0 0 1rr?????????????????????????????????167。 標(biāo)準(zhǔn)形 令 則 作非退化線性替換 X=CY ，則 f 的標(biāo)準(zhǔn)形為 31 0 0 00 2 0 00 0 1 00 0 0 01 2 2 120 1 3 10 0 2 10 0 0 1c?????????????????????? ?????31 0 0 00 2 0 00 0 2 02 0 0 0 01 2 1 10 1 3 10 0 2 10 0 0 1r?????????????????????? ?????1 2 1 10 1 3 1 ,0 0 2 10 0 0 1C?????????????1239。.20C AC??????????2 2 21 2 322y y y??167。 標(biāo)準(zhǔn)形 三、小結(jié) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形 基本概念 基本結(jié)論 定理 數(shù)域 P上任一對(duì)稱矩陣合同于一 個(gè)對(duì)角矩陣 . 定理 任一數(shù)域 P上的二次型 f (x1,x2,…, xn) 都可經(jīng)過(guò) 一適當(dāng)?shù)姆峭嘶€性變換 X＝ CY化為標(biāo)準(zhǔn)形 合同變換 2 2 21 1 2 2 nnd y d y d y? ? ?
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