高等代數(shù)【北大版】(26)-資料下載頁(yè)
2025-10-07 06:36本頁(yè)面
【正文】 解： xR?? :2xx?則 是 R到 R＋ 的一個(gè)映射 . ?∵ 若 22xy? ，則 2 1 ,xy xy? ?? ， ∴ ? 是單射． aR ???又 對(duì) ，存在 2lo g axR??，使 2l o g2( l o g ) 2 aa a? ??故 是 1— 1對(duì)應(yīng)． ?∴ ? 是滿射． 167。 集合 映射 令 1: , : ,f x x g x x Rx ??，問： 1） g 是不是 R＋ 到 R＋ 的雙射？ g 是不是 f 的逆映射？ 2） g是不是可逆映射？若是的話，求其逆． 解： 1） g是 R＋ 到自身的雙射． ∵ ，若 ，則 ， g是單射． ,x y R ???11xy? xy?并且 ，即 g是滿射． 11, , ( )x R R g xxx??? ? ? ?有 使又 ∵ ， 11( ) ( ( ) ) ( )f g x f g x fxx? ? ?∴ ， g不是 f 的逆映射． Rf g I ?? 事實(shí)上， ． 1ff? ?1gg? ?2） g是可逆映射． 167。 集合 映射 1 1 1 1()h g f f g? ? ? ???: , :f A B g B C?? h g f?, 令設(shè)映射 ，證明： 1）如果 h 是單射，那么 f 也是單射； 2）如果 h 是滿射，那么 g 也是滿射； 3）如果 f、 g 都是雙射，那么 h 也是雙射，并且 12( ) ( ) ,f a f a?但1 1 1 2( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )h a g f a g f a g f a???這與 h是單射矛盾， ∴ f 是單射． 1 2 1 2, , ,a a A a a??且證： 1）若 f 不是單射，則存在 22( ) ( )g f a h a?? 于是有 167。 集合 映射 ( ) ( ) ( ( ) )c h a g f a g f a? ? ?, , ( )c C a A h a c? ? ? ? ?使2） ∵ h 是滿射， ，即 ()f a B?， ∴ g 是滿射． 又 ∵ 3） ，因?yàn)? g 是滿射，存在 ,使 cC?? bB?( ) .g b c?又因?yàn)? f 是滿射，存在 ，使 aA? ()f a b?h是滿射． ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ,h a g f a g f a g b c? ? ? ?∴ 167。 集合 映射 ∵ 若 1 2 1 2,a a A a a??且，由于 f 是單射，有 12( ) ( ) .f a f a?又因?yàn)? g 是單射，有 12( ( ) ) ( ( ) )g f a g f a?即 , 12( ) ( )g f a g f a?∴ 12( ) ( ) ,h a h a?因而 h 是雙射． h 是單射 . 1 1 1 1( ) ( ) ( ) Ch f g g f f g I? ? ? ???又11( ) .Af g h I?? ?同 理 1 1 1h f g? ? ???
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