高等代數(shù)北大版教案-第5章二次型-資料下載頁
2025-04-17 13:05本頁面
【正文】 是正定的，因?yàn)橹挥性跁r(shí)，才為零.一般的，實(shí)二次型是正定的，當(dāng)且僅當(dāng) .可以證明，非退化的實(shí)線性替換保持正定性不變.定理5 元實(shí)二次型是正定的充分必要條件是它的正慣性指數(shù)等于.定理5說明，正定二次型的規(guī)范形為 (5)定義5 實(shí)對(duì)稱矩陣稱為正定的，如果二次型正定.因?yàn)槎涡?5)的矩陣是單位矩陣，所以一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣是正定的，當(dāng)且僅當(dāng)它與單位矩陣合同.推論 正定矩陣的行列式大于零.定義6 子式 稱為矩陣的順序主子式.定理6 實(shí)二次型是正定的充分必要條件為矩陣的順序主子式全大于零.例 判斷二次型是否正定.解：的矩陣為它的順序主子式 ， ， 因之，正定.與正定性平行，還有下面的概念.定義7 設(shè)是一實(shí)二次型，對(duì)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，如果都有，那么稱為負(fù)定的；如果都有，那么稱為半正定的；如果都有，那么稱為半負(fù)定的；如果它既不是半正定又不是半負(fù)定，那么就稱為不定的.對(duì)于半正定，我們有定理7 對(duì)于實(shí)二次型，其中是實(shí)對(duì)稱的，下面條件等價(jià)：(1)是半正定的.(2)它的正慣性指數(shù)與秩相等.(3)有可逆實(shí)矩陣，使，其中， .(4)有實(shí)矩陣使.(5)的所有主子式皆大于或等于零.注意：在(5)中，僅有順序主子式大于或等于零是不能保證半正定性的.比如， 就是一個(gè)反例.５９
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