【正文】 性有界與微積分中的有界概念的不同。 解： 設(shè) ? ?12, , , na a a a? 是 nR 中的固定向量， ? ?12, , , nnx x x x R? ? ?，令 5 ? ? 1n iiif x a x??? 則 f 是 nR 上的線性有界泛函。 ? ?baCx ,?? ,則 ? ?txxbta ??? max,那么： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dttytxdttytxxf baba 00 ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ?dttyxdttytx baba bta ?? ??? 00m a x.令 ? ?dttyM ba?? 0,則 ? ? .xMxf ? 從而 ??xf 是有界的。 ??3 ,??? lx ? ? xxxxfiin ??? ?1s up,即 01???M ，使 ? ? .xMxf ? 所以 ??xf 是有界的。 充分性：設(shè) ? ? ? ?, x D , x ,nnx D x n? ? ? ? ?則 00nx x x? ? ? ? ?.n?? ??fx在 0xD? 連續(xù) .于是 有 ? ? ? ? ? ? ? ?nnf x x x f x f x f x? ? ? ? ? ? ?.n?? 那么有 ? ? ? ?? ?nf x f x n? ? ?即 ??fx在 x 點(diǎn)連續(xù)，因此 ??fx在 D 上連續(xù)。 充分性：設(shè) ??fx在 D 上有界，則 0, ,nM x D? ? ? ? ? ?0nxn? ??有 ? ? ? ?0nnf x M x n? ? ? ?從而 有 在 0 0x? 點(diǎn)連續(xù)，由定理 可知 ： ??fx在D 上連續(xù)。 例 3：設(shè) ? ?yxT ?? ,證明：如果 T 有界，則 ? ? ? ?XxTxxTN ??? ,0是閉集。 例 4：設(shè) 21, XX 是線性賦范空間， ? ?????? ,3,2,1: 21 nxxT n 是線性有界算子。 證明：因?yàn)?： ? ?supxfxf x???所以 ： ??fx是 ? ? ? ?fx xx ??的上界，所以 有： f ? ? ? ? ?fx xx ??從而： ? ?f x f x? 。 ? ? ? ? ? ? ? ?l im l im l imn n nn n nf x y f x y f x f y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?.f x f y???? 取 1N ， 當(dāng) 1m n N?? 時(shí) ， 1mnff??則 1mnff??, xX?? 有 ? ?mmf x f x? ? ?xfn 1?? ， 讓 Nn? 固定，令 ,??m 有 ? ? ? ? xfxf n 1?? ，這就證明了 f 是X 上的線性有界泛函即 ??Xf 。 ??3 PL ??ba, （ ????P1 ）的共軛空間是 ?? baLq , ???????? ?? 1q1p1。 推論 ：如果 X 是線性賦范空間， G 是 X 上的子空間， Xx?0 , ? ?Gxd ,0 ? 0in f0 ???? dyxGy, 那么 必 存 在 X 上的有界線性泛函 f ，滿足： ??1 ? ? .0, ??? xfGx ??2 ? ? .0 dxf ? ??3 .1?f 證明：設(shè) ? ?01 , xGspanG ? ， 由于 Gx?0 ， 故 1G 中的元素 y 可唯一地表示為0txxy ?? Gx? 。 因?yàn)????????? ?????? ????? xtxttxxy 100 dt? ， ? ? ? ? .0 ydttdtxxy ????? ?? 于是 ??x? 是有界的 ， 且 11 ?G? 11 另一方面：由 d 的定義 ， 則可取一列 ? ? Gxn ? ,使0lim nnd x x????于是 有：? ? ? ? ? ? ? ? 000 1 xxdxxxxx nGnn ???????? ????? ， 當(dāng) ??n 時(shí) ， 有 ?d1G?d ， 從而有 11 ?G?，所以 11 ?G?，由 HahnBanach 定理，把泛函 ? 延拓到全空間 X 得 f ，則 f 滿足： ??1 ? ? ? ? ,0, ???? xxfGx ?； ??2 ? ? ? ? .00 dxxf ??? ??3 .11?? GXf ? 命題 延拓定理的幾點(diǎn)應(yīng)用： ??1 ieszR 定理： 若 ? ?? ? ,1,0 ?? Cf 那么 存在唯一的 ? ?,1,00Vg? 使 ? ?,baCx?? 有? ? ? ? ? ?tdgtxxf ?? 10 ， 且有 ? ?gVf 10? 。 4 線性算子 線性有界算子 命題 算子：若 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的兩個(gè)線性賦范空間 ， 1XD? 為某 一子集， 若 存在一種對應(yīng)的法則 T， 使對任 何 Dx? 有唯 一的 2XTxy ?? 與之 對應(yīng)， 那么就 稱 T 是 X1 中 D 到 X2 的算子。 注： ??1 ??TR 是 Y 的線性子空間， ??TN 是 X 的線性子空間。 定理 ：（線性有界與線性連續(xù)） 如果 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的線性賦范空間 ， 1XD? 是線性子空間， 2: XDT ? 的線性算子， 那么 T 在 D 上連續(xù)等價(jià)于 T 在 D上有界。 13 例 2： ? ? ? ?baCbaCT ,: ? ，定義為： ? ?baCx ,?? ， ? ? ?? dxTx ta??， ? ?bat ,?? 證明： T 是線性有界算子。 證明：設(shè) ? ? nn Rxxxx ????? , .21 ， ? ? mm Ryyyy ????? , 21 ， 定義 ： mn RR ? 的算子 A ， 那么 A 是線性有界算子。 例 4：用 1C ??10， 表示 ??10， 上 的 連續(xù)可微函數(shù)的全體， 那么 1C ??10， 是 C ??10， 的 線性 子空間定義 :T 1C ? ?ba, ? C ??10， 如下： ??x 1C ??10， ， ???? txTx ， 證明： T 是 線性無界算子。 14 因?yàn)椋?? ? xxnxyTx nnnn ?????????? ?? 11 s ups up,所以 T 是線性有界算子。 算子范數(shù)：如果 T 是線性賦范空間 X 到線性賦范空間 Y 的有界線性算 子， 能夠 使： xMTx ? ‖對一切 Xx? 都成立的正數(shù) M 的下確界，稱為算子 T 的范數(shù)，記為 T ，即 ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf 。 例 3：線性積分算子的范數(shù)： 如果 ? ?tsK, 在矩形 btsa ?? , 上連續(xù)，那么 ： ? ? ??dttxtsKTx ba?? ,， 定義了 ? ? ? ?baCbaC , ? 上 的線性有界算子， 那么 有： ? ?dttsKT babsa ???? ,m a x。 充分性：如果 T 是閉算子，那么當(dāng) ? ?TDxn?? ， yTxxx nn ?? , 時(shí)，明 16 顯的有 ? ? ? ?TGTxx nn ? )，而且在乘積空間 21 XX? 中有 ? ? ? ?yxTxx nn , ? ，又因?yàn)??TG 是 21 XX? 中的閉集，所以 ? ? ? ?Txxyx , ? ? ??TG 即 ? ?TDxn?? 時(shí) 有 Txy? 。 證明： ? ? ? ?TGTyx nn ?? , ，當(dāng) ? ? ? ?yxTxx nn , ? 時(shí)，要證明： ? ? ? ?TGyx ?, 因?yàn)椋?? ? ? ?yxTxx nn , ? 等價(jià)于 yTxxx nn ?? , ，又因?yàn)椋???TD 是閉集，所以 ? ?TDx? 。 例 1： 令 ? ?10，CX? ， ? ? ? ? ? ?? ?1,0CtxXxTD ???? ，定義 ? ? ? ?10: ，CXTDT ?? 如下： ? ?TDxn?? ， ? ? ??txxT ?? ， 證明： T 是無界的，但 T 是閉線性算子。在大學(xué)期間，何老師給我們上的各種課程，給予我們很多的知識(shí)，體現(xiàn)何老師淵博的專業(yè)知識(shí) 和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度；在修改論文時(shí)總是犧牲他的休息時(shí)間，他的這種無私奉獻(xiàn)的敬業(yè)精神令人欽佩，在生活中何老師的為人對我的論文寫作乃至我人生都有一定的積極影響，在此我向他表示我誠摯的謝意。 。正是由于他們的指導(dǎo)，我才能在各個(gè)方面取得顯著的進(jìn)步，在此我向他們表示衷心的感謝，并祝老師們培養(yǎng)出越來越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下！ 再次，我要感謝和我一同度過大學(xué)學(xué)習(xí)生涯的同窗好友閆芹娟、鄧美蘭、曹海琴、程文、 王璦玲、景娟對我的關(guān)心與幫助。 下 面 證 明 ： T 是閉算子， 設(shè) ? ?TDxn? 且 yTxxx nn ?? , ， 由于 ? ?10，C 中的收斂是函數(shù)列的一致收斂，由 ? ? ? ? ? ?tytTxtx nn ??? 即 ??txn? 在 ? ?10，C 中是一致收斂于??ty 的 ， 因此 有： ? ? ? ? ? ? ?????? dxdxdy t nnnt nt ??? ???? ???? 000 l i ml i m ? ? ? ?? ????? 0lim nnn xt ?? ? ?0xtx ? ， 即 ? ? ?