【正文】 3 赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (6) 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 設(shè)線性系統(tǒng)的特征方程為 則使線性系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：在上式特征方程中， 各項系數(shù)為正數(shù)。 10 1 1 0( ) 0 , 0nn nnD s a s a s a s a a? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 97 赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 由于上面的穩(wěn)定條件不充分，因此線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分且必要條件為：由系統(tǒng)特征方程各項系數(shù)所構(gòu)成的主行列式及其順序主子式 全部為正，即 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (7) nnnnaaaaaaaaaaaaa2120314205310000000000000000000??????????????004231211 ???? aaaaa ??00 316425313 ??aaaaaaaa?0?n??( 1 , 2 , , 1 )i in? ? ??? ?當(dāng)特征方程的次數(shù)較高時，應(yīng)用赫爾維茨判據(jù)的計算工作量較大。 98 李納德 戚伯特穩(wěn)定判據(jù) 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (8) 在特征方程的所有系數(shù)為正的條件下，若所有奇次順序赫爾維茨行列式為正，則所有偶次順序赫爾維茨行列式亦必為正；反之亦然。 99 舉例說明 例 設(shè)某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試用赫爾維茨判據(jù)確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 及 的取值范圍。 解 由題意得閉環(huán)特征方程 因要求特征方程各項系數(shù)為正，即 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (9) ( 1 )()( 1 ) ( 2 1 )KsGss T s s????K T32( ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 0D s T s T s K s K? ? ? ? ? ? ?2 0 , 2 0 , 1 0 , 0T T K K? ? ? ? ? ? 100 故可得 及 的取值下限： 和 另外要求 ，可得 及 的取值上限： 此時，為了滿足 及 的要求，由上限不等式知， 及 的取值下限應(yīng)是 及 。 于是使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 及 的取值范圍為： 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (10) K TK TK T2 0??0T ? 0K ?0T ? 0K ?K T2 ( 1 ) 2,12KTTK ?????? 2 2 ( 1 )1 , 221TKKT??? ? ? ??? 2T ? 1K ?101 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的 充分必要條件 是勞斯表的 第 1列 系數(shù) 全部 是 正 數(shù)。 特征方程具有 正實部根的個數(shù) 等于勞斯表中第 1列各系數(shù) 改變符號的次數(shù)。 系統(tǒng)的特征方程式 01110 ????? ?? nnnn asasasa ?將系統(tǒng)特征方程式中的 s各次項系數(shù)排列成如下的勞斯表 （ Routh Array） ： 10112124321343212753116420gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn?????????????3 5 – 4 勞斯穩(wěn)定判據(jù) 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (11) 102 130211 aaaaab ??150412 aaaaab ??10112124321343212753116420gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn?????????????3120111aaaaab??5140121aaaaab??7160131aaaaab??2131111bbaabc??3151121bbaabc??4171131bbaabc??121311 bbaabc ??131512 bbaabc ??1 行列式第一列不動 2 次對角線減主對角線 特點： 103 例：設(shè)系統(tǒng)特征方程為： s5+2s4+s3+3s2+4s+5=0 勞 斯 表 s5 s4 s0 s1 s2 s3 1 2 3 5 4 1 1/2 3/2 1 3 9 5 32/9 5 結(jié)論 ： 系統(tǒng) 不 穩(wěn)定，第一列符號改變兩次，有 兩 個根在 s右半平面 0 勞斯表特點 2 每兩行個數(shù)相等 1 右移一位降兩階 4一行可同乘以或同除以某正數(shù) 3 分母總是上一行第一個元素 0 104 兩種特殊情況： （一定是不穩(wěn)定的） 1．勞斯表中第 1列出現(xiàn)零，而該行其余各項不為零 勞斯判據(jù) 應(yīng)用方法 ： （ 1） 用一個小的正數(shù)代替它 ， 繼續(xù)計算其余各元 。 例 1：特征方程 0122 234 ????? ssss? ?122102211101234sssss???? 當(dāng) 趨近于零時 ， 的值是一個很大的負(fù)值 ， 因此可以認(rèn)為 第 1列中的各元的符號改變了兩次 。 由此得出結(jié)論 ， 該系統(tǒng)特征方程式 有兩個根具有正實部 ， 系統(tǒng)是 不穩(wěn)定 的 。 ? ?22?結(jié)論 ： 105 例 2：方程 022 23 ???? sss結(jié)論 ： 第 1列各元中的上面和下面的系數(shù)符號不變，故有一對純虛根。系統(tǒng) 臨界穩(wěn)定（不穩(wěn)定） 222110123ssss?特征方程式分解 0)2)(1( 2 ??? ss解得根為 2, 32,1 ?????? pjp純虛根求解： 或由 行輔助方程式 022 2 ??s2s106 （ 2）勞斯表中某行的第一列項為零，而其余各項不為零，或 不全為零，可以用 乘以原特征方程，其中 ， 再對新的特征方程應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)。 ()sa?0a ?例如，特征方程為 其勞斯表 3( ) 3 2 0D s s s? ? ? ?3211302sss?? 107 以 乘以原特征方程，得新特征方程為 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (15) ( 3)s?4 3 23 3 7 6 0s s s s? ? ? ? ? 列出新勞思表為： 由新勞斯表可知，第一列有 兩次符號變化，故系統(tǒng)不穩(wěn) 定，且有兩個正實部根。 若用因式分解，原特征 方程可分解為： 確有兩個 的正實部根。 432101 3 63 7 02 / 3 6 020 0 06sssss??? 1s?32( ) 3 2( 1 ) ( 2 ) 0D s s sss? ? ?? ? ? ? 108 其實對于原特征方程 當(dāng) ，則有第一列元素的符號發(fā)生兩次變化；這表明系統(tǒng)有兩個正實部的根。 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (16) 0??)2()1()23( 23 ????? ssss20232)0(31023ssss?????109 2．勞斯表的某一行中，所有元都等于零 這些大小相等而關(guān)于原點對稱的根也可以通過求解輔助方程得出 。 表明 方程有一些 大小相等且對稱于原點的根。 勞斯判據(jù) 應(yīng)用方法： 可利用 全 0行的上一行 各元構(gòu)造一個輔助多項式（稱為輔助方程），式中均為 偶 次。以輔助方程的 導(dǎo)函數(shù)的系數(shù) 代替勞斯表中的這個全 0行，然后繼續(xù)計算下去。輔助方程的次數(shù)通常為偶數(shù)，它表明數(shù)值相同但符號相反的根數(shù)，所有那些數(shù)值相同但符號相異的根，均可由輔助方程求得。 110 例： 系統(tǒng)特征方程式為 01616202282 23456 ??????? ssssss0008610161221620813456ssss由上表可以看出 ， 行的各項全部為零 。 為了求 出 各項 ， 將 行的各元構(gòu)成輔助方程式 4s3s03 ~ ss86)( 24 ??? sssp它的導(dǎo)函數(shù)為 ? ?ssds sdp 124 3 ??834831248610161221620810123456sssssss111 結(jié)論 ： 在新得到的勞斯表的第 1列沒有變號 ， 因此可以確定在右半平面沒有特征根 。 另外 ， 由于 行的各元均為零 ，這表示有共軛虛根 。 系統(tǒng) 臨界穩(wěn)定 。 （ 不穩(wěn)定 ） 特征方程式的大小相等符號相反的虛根可由輔助方程式 求出 3s086)( 24 ???? sssp21,2,2 6,54,32,1 jpjpjp ??????????834831248610161221620810123456sssssss112 應(yīng)用 Routh判據(jù)分別研究一階、二階和三階微分方程 000322130212010?????????asasasaasasaasa得到以下的簡單 結(jié)論 ： （ 1） 一階和二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方程所有系數(shù)均為正 。 （ 2） 三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：特征方 程所有系數(shù)均為正 ， 且 3021 aaaa ?113 例 ： 系統(tǒng)特征方程為 試用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。 解 ： 勞思表如下 此時出現(xiàn)了全零行，用 行系數(shù)構(gòu)造輔助方程 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (18) 044732)( 23456 ???????? sssssssD00043143147213456ssss???????42( ) 3 4 0F s s s? ? ? ?4s114 對輔助方程求導(dǎo)，得導(dǎo)數(shù)方程 用導(dǎo)數(shù)方程的系數(shù)取代全零行相應(yīng)的元： 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (19) 3() 4 6 0d F s ssds ? ? ?65432101 2 7 41 3 41 3 44 6 01 .5 41 6 .7 04sssssss? ? ?????????? 結(jié)論 ： （ 1）首列元素有一次符號變化，系統(tǒng)不穩(wěn)定； （ 2）有輔助方程可求出產(chǎn)生全零行的特征方程部分根： 421 , 2 3 , 45 , 6( ) 3 4 02( 1 3 ) / 2F s s ss s jsj? ? ? ?? ? ? ????115 3 5 – 6 勞斯穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用 35 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 (20) 例 設(shè)比例 積分（ PI）控制系統(tǒng)如圖所示 )(sC)(sR)2(2nnss ????1 sK /1)( ?? n??（ 1）確定使系統(tǒng)穩(wěn)定