【正文】 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性圖，可利用 圖解法 較容易的獲得 單位反饋系統(tǒng)的 閉環(huán)頻率特性圖。 （ 圖解法 ） 1） 利用 等 M圓和等 N圓求 單位反饋 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 )(1 )()( )()( ????? jG jGjR jCj ????()Gs ()() 1 ( )Gss Gs?? ?定義 設(shè)開環(huán)頻率特性 為 令 ，則 整理得： 2222)1( YXYXM ???? M圓（等幅值軌跡） ()Gj? ()G j X jY? ??()Mj??? 2222()()1 ( ) ( 1 )G j X YMjGj XY????? ? ? ?? ??2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2M X M Y M X M? ? ? ? ??當(dāng) M=1時，由上式可求得 X=1/2，這是通過點（ 1/2， j0）且與虛軸平行的一條直線 ?當(dāng) M≠1時，由上式可化為 對于給定的 M值（等 M值），上式是一個圓方程式，圓心在 處，半徑 。所以在 G(jω)平面上，等 M軌跡是一簇圓，見下圖 2222 )1( yMMx ??? 22 )1( MM??)0 ,1( 2 2 jMM ??12 ?MM等 M圓 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) 2M X M Y M X M? ? ? ? ?分析 ?當(dāng) M1時，隨著 M值的增大，等 M圓半徑愈來愈小，最后收斂于（ 1,j0）點，且這些圓均在 M=1直線的左側(cè) ?當(dāng) M1時，隨著 M值的減小， M圓半徑也愈來愈小，最后收斂于原點，而且這些圓都在 M=1直線的右側(cè) ?當(dāng) M=1時，它是通過（ 1/2， 0j） 點平行于虛軸的一條直線。 ?等 M圓簇既對稱于 M=1的直線，又對稱于實軸。 2222 )1( yMMx ??? 22 )1( MM??)0 ,1( 2 2 jMM ?? N圓（等相角軌跡） 定義 ： 閉環(huán)頻率特性的相角 為： 令 整理得 ： 1)( )()( ???? X Yar c t gXYar c t gjR jC ????)(??tgN ?222 121 ?????? ???????? ? NYX22141 ???????? N)(??分析 ?當(dāng)給定 N值 (等 N值 )時，上式為圓的方程，圓心在 處，半徑為 , 稱為等 N圓，見圖。 ?等 N圓實際上是等相角正切的圓，當(dāng)相角增加 177。 180176。 時，其正切相同，因而在同一個圓上。 ?所有等 N圓均通過原點和（ 1,j0）點。 ?對于等 N圓，并不是一個完整的圓，而只是一段圓弧。 )21 ,21( N?2)21(41 N?)(1 )()( )()( ????? jG jGjR jCj ????()G j X jY? ?? M圓和等 N圓求單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 意義： 有了等 M圓和等 N圓圖，就可由開環(huán)頻率特性求 單位反饋 系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性和相頻特性。 ?將開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖 疊加在等 M圓線上，如圖 (a)所示。 曲線與等 M圓相交于 （ a）等 M圓 （ b）等 N圓 ?在 處， 曲線與 的等 M圓相交，表明在 頻率下，閉環(huán)系統(tǒng)的幅值為 。依此類推。 ?從圖上還可看出， 的等 M圓正好與 曲線相切，切點處的 M值最大，即為閉環(huán)系統(tǒng)的諧振峰值 ，而切點處的頻率即為諧振頻率 。 ?此外， 曲線與 的等 M圓交點處的頻率為閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬頻率 ， 0＜ ＜ 稱為閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶寬度。 r?b? b?()Gj? ()Gj?1 2 3, , ...? ? ?1??? ()Gj?rM1( ) ? ? ?2M? ()Gj?()Gj? ??1??將開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖 疊加在等 N圓線上，如圖 (b)所示 曲線與等 N圓相交于 如 處， 曲線與 10176。 的等 N圓相交，表明在這個頻率處，閉環(huán)系統(tǒng)的相角為 10176。 ，依此類推得閉環(huán)相頻特性。 在早期的工程實踐中，應(yīng)用等 M圓求取閉環(huán)幅頻特性時，需先在透明紙上繪制出標(biāo)準(zhǔn)等 M圓簇，然后按相同的比例尺在白紙或坐標(biāo)紙上繪制出給定的開環(huán)頻率特性 的紙上重疊起來，并將它們的坐標(biāo)重合最后根據(jù) 曲線與等 M圓簇的交點得到對應(yīng)的 M值和 值，便可繪制出閉環(huán)幅頻特性 ()Gj? ()Gj?? ()M?()Gj?（ a）等 M圓 （ b）等 N圓 ()Gj?1 2 3, , ...? ? ?1??? ()Gj?閉環(huán)頻率特性曲線繪制如 P224圖 547 2）利用尼克爾斯圖求單位 反饋系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性 與 橫向走勢圈線為等 M線，縱向駝峰線為 等線 ? 思路： 上面介紹的等 M圓和等 N圓求取閉環(huán)頻率特性的方法，適用于單位反饋系統(tǒng)。對于一般的反饋系統(tǒng)，如下圖 (a)所示，則可等效成如下圖 (b)所示的結(jié)構(gòu)圖，其中單位反饋部分的閉環(huán)頻率特性 可按上述方法求取，再與頻率特性 相乘，便可得到總的閉環(huán)頻率特性。 因此，研究閉環(huán)系統(tǒng)頻域特性或者頻域指標(biāo)時，只需重點針對單位反饋系統(tǒng)進行 。 ()Hs通常情況下， 為常數(shù)。 ()a ()b1 ( )Hj?總結(jié) 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性求法： 1）利用等 M圓和等 N圓 2）利用尼克爾斯圖線 頻域響應(yīng)（頻率特性）和時域響應(yīng)都是描述控制系統(tǒng)固有特性的工具，因此兩者之間必然 存在著某種內(nèi)在聯(lián)系，這種聯(lián)系通常體現(xiàn)在控制系統(tǒng)頻率特性的某些特征量與時域性能指標(biāo)之間的關(guān)系上。本節(jié)將著重討論系統(tǒng)閉環(huán)幅頻特性的特征量與系統(tǒng)性能指標(biāo)之間的關(guān)系。 57頻域響應(yīng)和時域響應(yīng)之間的關(guān)系 本節(jié)內(nèi)容 1. 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻域指標(biāo) 2. 系統(tǒng)帶寬與信號頻譜的關(guān)系 3. 系統(tǒng)時域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間的關(guān)系 4. 工程設(shè)計中需要注意的幾個問題 1. 控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻域指標(biāo) 1234( 1 ) ( 1 ) ...( 1 ) ( 1 ) ...vK T s T sG s T s T s???1 , 0( 0) ( 0)( 0) ( 0) 11 ( 0) 1 ( 0) 1 , 1vvK vG j K jMj KG j K jv? ???? ? ? ? ????? ? ??0( 0 )2 0 l g ( ) 2 0 l g 2 0 l g ( 0 ) 2 0 l g 2 2 0 l g ( 0 ) 32b MM M M d B? ??? ? ? ? ?????系統(tǒng)的帶寬是一個非常重要的概念，在用頻域法對控制系統(tǒng)進行分析和綜合中經(jīng)常用到。 考試、考研 一階系統(tǒng)的帶寬 設(shè)一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 1() 1s Ts?? ?因為開環(huán)系統(tǒng)為 1型， ，按帶寬定義， ( 0) 1j?? 22112 0 l g ( ) 2 0 l g 2 0 l g 321bbj d BT? ?? ? ? ? ??可求得帶寬頻率 1b T? ?一階系統(tǒng)的 bode 圖 結(jié)論：一階系統(tǒng)的帶寬頻率和時間常數(shù) 成反比，并且系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)速度和帶寬成正比。 T 慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線 二階系統(tǒng)的帶寬 系統(tǒng)的幅頻特性 2221()14nnj? ????? ????????因為開環(huán)系統(tǒng)為 1型， ，按帶寬定義， ( 0) 1j??2221 4 2bbnn?????? ? ?????于是 ? ? ? ? 122221 2 1 2 1bn? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? 122221 2 1 2 1bn? ? ? ???? ? ? ? ?????教材 P218頁用解析法推導(dǎo)出 結(jié)論 二階系統(tǒng)的帶寬頻率 和自然頻率 成正比，與阻尼比 成反比。 b? n??從右圖中可以更直觀的看出該結(jié)論。 二階系統(tǒng)的響應(yīng)速度和帶寬成正比。 二階系統(tǒng)的頻率特性 該結(jié)論是否具有一般性呢？ 重要知識點 1：（頻率尺度與時間尺度的反比性質(zhì)） 系統(tǒng)帶寬：系統(tǒng)帶寬是頻域中一項非常重要的性能指標(biāo)。 對一般控制系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)速度和帶寬成正比 。即 當(dāng)系統(tǒng)的帶寬擴大 倍，系統(tǒng)的響應(yīng)速度則加快 倍。 ??證明： 設(shè)兩個控制系統(tǒng)存在以下關(guān)系： 12( ) ( )ss ?? ? ?其中， 為任意正常數(shù)。兩個系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性亦有 ? 12( ) ( )jj?? ?? ? ?當(dāng)對數(shù)幅頻特性 和 的橫坐標(biāo)分別取為 和 時，其對數(shù)幅頻特性曲線具有相同的形狀，按帶寬的定義可得 220 lg ( )j ???120 lg ( )j?? ? ??12bb? ???即系統(tǒng) 的帶寬頻率為系統(tǒng) 帶寬頻率的 倍。 設(shè)兩個系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)分別為 和 ，按拉氏變換，有 1()s? 2()s? ?1()ht 2()ht1 1 2 2022 1 1( ) ( ) ( ) ( )st stss h t e dt h t e dtss ???????? ? ? ? ? ???即得 12( ) ( )h t h t??由時域性能指標(biāo)可知，系統(tǒng) 的上升時間和調(diào)節(jié)時間為 的倍。即當(dāng)系統(tǒng)的帶寬擴大 倍，系統(tǒng)的響應(yīng)速度則加快 倍。 1()s? 2()s?? ?既然系統(tǒng)的時域響應(yīng)速度與帶寬成反比，是不是系統(tǒng)的帶寬越寬越好呢？ 系統(tǒng)的輸入和輸出端不可避免的存在確定性擾動和隨機噪聲，因此控制系統(tǒng)帶寬的選擇 需要綜合考慮各種輸入信號的頻率范圍及其對系統(tǒng)性能的影響，即 應(yīng)使系統(tǒng)對控制輸入信號具有良好的 跟蹤能力 （跟蹤能力其實暗含兩個要求： 快速性與準(zhǔn)確性，即準(zhǔn)確、快速的復(fù)現(xiàn)控制信號） 和對擾動輸入信號具有較強的抑制能力 。 2. 系統(tǒng)帶寬與信號頻譜的關(guān)系（ 《 信號與系統(tǒng) 》 ） 1）確定性信號頻譜的概念 的頻譜是其傅里葉系數(shù)（復(fù)系數(shù)）的集合，通常用該復(fù)系數(shù)的幅頻值集合來表示，是離散的。如教材 P220頁圖 543，周期性方波信號的頻譜。 的頻譜是其傅里葉變換，是連續(xù)的。如教材 P220頁圖 544，單個方波信號的頻譜。 ()ft()ft2）信號與系統(tǒng)的關(guān)系 當(dāng)信號通過一個線性系統(tǒng)時，相當(dāng)于該信號的頻譜經(jīng)過了該線性系統(tǒng)的線性變換后，再求傅里葉反變換。 因此系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)輸入信號的能力取決于系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性，對于輸入端信號，帶寬大，則復(fù)現(xiàn)能力越強（跟蹤能力強）；而另一方面，抑制輸入端高頻干擾的能力則弱，因此系統(tǒng)帶寬的選擇在設(shè)計中應(yīng)折中考慮，不能一味求大。 考試、考研 3. 系統(tǒng)時域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間的關(guān)系 ?控制系統(tǒng)的頻域分析和綜合是經(jīng)典控制論中的精華，但是頻域指標(biāo)不像時域指標(biāo)那樣物理意義明確且直觀。 ?系統(tǒng)時域指標(biāo)物理意義明確、直觀，但不能直接應(yīng)用于頻域的分析和綜合。 ?另外，閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標(biāo) 雖然能反映系統(tǒng)的跟蹤速度和抗干擾能力，但由于需要通過閉環(huán)頻域特性加以確定，在校正元件的形式和參數(shù)尚需確定時，顯得較為不方便。 鑒于以上原因，需要建立系統(tǒng)時域指標(biāo)和閉環(huán)頻域指標(biāo)以及開環(huán)頻域指標(biāo)之間的關(guān)系。有了這些關(guān)系，可以指導(dǎo)我們在頻域?qū)刂葡到y(tǒng)進行分析和綜合。 b?主要時域指標(biāo) 主要閉環(huán)頻域指標(biāo) 主要開環(huán)頻域指標(biāo) 上升時間 調(diào)節(jié)時間 峰值時間 超調(diào)量 帶寬頻率 諧振頻率 諧振峰值 零頻值 截止頻率 相角裕度 rtst%?b?rMc??ptr?(0)M1）低階系統(tǒng)時域指標(biāo)與頻域指標(biāo)之間的定量關(guān)系 開環(huán)頻域指標(biāo) 閉環(huán)頻域指標(biāo) 時域指標(biāo) 顯然， 考試、考研 a b c a b c d 指標(biāo) 指標(biāo) ba可查圖表 P228 圖 551 考試、考