【文章內容簡介】 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )Z n P mi i j ji i Z j j Ps z s z s p s p? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ???? 2)()2()2( ZPPZ ??????( ) ( )F s F s d s?? ? 式中 ， P和 Z分別是被封閉曲線 包圍的特征方程函數(shù) 的極點數(shù)和零點數(shù) 。 表明 ， 當 s平面上的試驗點 沿封閉曲線 順時針方向繞行一圈時 ， F（ s） 平面上對應的封閉曲線將按逆時針方向包圍坐標原 （ PZ） 圈 。 s?1ss? 令 R為 F (s)平面上封閉曲線 包圍原點的圈數(shù)，則 R=PZ s?()Fs幅角原理總結： F (s)包圍原點的圈數(shù) = 內 F (s)極點數(shù) 內 F (s)零點數(shù) R P Z??s? s?F (s)包圍原點的圈數(shù) = 內系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)極點數(shù) 內系統(tǒng) 閉環(huán)傳遞函數(shù) 極點數(shù) 內系統(tǒng) 閉環(huán)傳遞函數(shù) 極點數(shù) = 內系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)極點數(shù) F (s)包圍原點的圈數(shù) 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的思路來源： 恰當?shù)倪x擇 ，使得 包圍整個 S右半平面，則根據(jù) 包圍原點的圈數(shù)和已知的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的數(shù)目，可以判斷系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)在右半平面的數(shù)目，進而可以判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 s? s? ()Fs??F (s)包圍原點的圈數(shù) = 內 F (s)極點數(shù) 內 F (s)零點數(shù) s? s?s? s??s? s?選擇時 ，分了三種情況 s?0型系統(tǒng) 非 0型系統(tǒng) 臨界穩(wěn)定系統(tǒng) ?????3)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) A. （ P為右半平面系統(tǒng)的開環(huán)極點數(shù)目） (0型系統(tǒng) ) a b c （原點或者某常值點） 課后練習 514 （最小相位） 0? ?? ? ? ?? ? ? ?1?j0? ?? ? ? ?1?jK K 在左圖，當 S沿著 順轉一周時，對應于 ，此時， 線圍繞著 1點順時針轉了 2圈。而系統(tǒng)不存在右半平面的開環(huán)極點，所以 ，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。并且存在 Z=PR=0（ 2） =2個 S右半平面的閉環(huán)極點。 s? :? ?? ? ?? GH?RP? 由對稱性可以簡化繪圖，只需做出的一半的曲線 ， 即 Nyquist圖即可，如右圖。但是 線圍繞著 1點轉的圈數(shù)，應該乘以 2再與右半平面的開環(huán)極點數(shù)作比較。 12 GH? :0? ? ??12 GH?注： 利用半閉合曲線 計算閉合曲線 包圍原點圈數(shù) R的方法。 12 GH?( 1, 0)j?F? 根據(jù)半閉合曲線 可獲得 包圍原點的圈數(shù) 。設 為穿越點 左側負實軸的次數(shù)， 表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）， 表示負穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則 12 GH?F? RN N?N?2 2( )R N N N??? ? ?0? ?? ? ? ?? ? ? ?1?j0? ?? ? ? ?1?jK K此題中， 0 , 1NN???? 2 2( ) 2( 0 1 ) 2R N N N??? ? ? ? ? ? ?0 ( 2) 2Z P R? ? ? ? ? ?考試、考研標準答題格式 0 , 1NN????2 2( ) 2( 0 1 ) 2R N N N??? ? ? ? ? ? ?0 ( 2) 2Z P R? ? ? ? ? ?閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，具有兩個右半平面的極點。 系統(tǒng)開環(huán)右半平面的極點為 0，所以 P=0 （關鍵） 思考，此題用勞斯判據(jù)怎么做？ 例 在右半平面的極點數(shù)為 P=1。 當 K1時， ， R=2N=1=P 系統(tǒng)穩(wěn)定 。 當 K1時， N=0 ，系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 當 K=1時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 ()Gs10, 2NN????0( 0) , ( 0) 180AK ?? ? ? ?0? ? 0? ? ? ? ? ?? ? ? ?jK? 0? ? ? ? ? ?jKB . a b c d （也稱為增補曲線） (非 0型系統(tǒng) ) s? 為 解： 開環(huán) Nyquist曲線不包圍 (1, j0 )點，而 P=0，因此，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 0? ??0? ??? ? ??? ? ?? 0? ?j0P1 , 0 , 2 ( ) 12N N R N N? ? ? ?? ? ? ? ? ?（考研） （如何順時針增補的曲線？） 最小相位系統(tǒng) 增補曲線的基本形式 1 2 3（考試） 1, 1NN????閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？ PP閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？ 1 , 22 2 ( ) 2NNN N N P?? ????? ? ? ?閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 C . （不要求掌握） (臨界穩(wěn)定系統(tǒng) ) 注 1：奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)的另外一種形式 注 2： 利用半閉合曲線 計算閉合曲線 包圍原點圈數(shù) R的方法。 12 GH?( 1, 0)j?F? 根據(jù)半閉合曲線 可獲得 包圍原點的圈數(shù) 。設 為穿越點 左側負實軸的次數(shù)， 表示正穿越的次數(shù)和（從上向下穿越）， 表示負穿越的次數(shù)和（從下向上穿越），則 12 GH?F? RN N?N?2 2( )R N N N??? ? ?特殊情況：半次穿越。 0? ??? ? ? ?? ? ? ? 0? ?j01?j01? 0? ??? ? ? ?1 , 1 , 2 2 ( ) 12N N R N N N? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?N ? N ?N ?N ?j j半次正穿越 半次負穿越 30 , , 2 2 ( ) 32N N R N N N? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?0? ?? ? ? ??0? ?j1?0 1?0? ??? ? ? ? 0? ?? 0? ?j? ? ? ?某非最小相位系統(tǒng) 注 3： 臨界穩(wěn)定 當半閉合曲線 穿過 點時，表明存 在 ，使得 即系統(tǒng)閉環(huán)特征方程存在共軛虛根，則系統(tǒng)可能臨界穩(wěn)定。計算 的穿越次數(shù) 時，應注意不計及穿越 點的次數(shù)。 12 GH? ( 1, 0)j?nsj???( ) ( ) 1nnG j H j??? ? ? ?12GH?N ( 1, 0)j?利用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟： （注意表明奈奎斯特曲線與點 的關系）。 （非零型系統(tǒng)） （及其增補曲線）圍繞點 逆時針旋轉的圈數(shù)（兩種方式繪圖數(shù)圈均可，穿越或者數(shù)圈） 與開環(huán)傳遞函數(shù)在 S右半平面極點數(shù) 是否相等，相等則穩(wěn)定。 ，閉環(huán)傳遞函數(shù)在 S右半平面極點數(shù)為 切記：利用的是開環(huán)系統(tǒng)的奈奎斯特圖，判斷是的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)總結： ( 1, 0)j?( 1, 0)j? RR P2 2 ( )Z P R P N P N N??? ? ? ? ? ? ?要求熟練掌握 P238頁 514作業(yè)題（考試、考研） 1）相對應的奈奎斯特曲線是怎么畫出來的。 2）用奈奎斯特判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。及右半平面閉環(huán)極點數(shù)。 3 例 已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線如下圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K值的范圍。 P=0 （考試） 兩個重要例子：（考研） P211 例 58 已知（最小相位）單位反饋系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線 ，如圖所示，試確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時 K值的范圍。 ( 10 , 0 , 1 )KP ?? ? ?解： 開環(huán)幅相曲線與負實軸有三個交點，設交點處穿越頻率分別為 ，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)形如 1 2 3,? ? ?1( ) ( )KG s G ss??j02?? ?1??由題設條件知 1011l i m ( ) 1( ) ( )siiiGsKG j G jj?????????????? ???當取 K=10時， 1 2 3( ) 2 , ( ) 1 .5 , ( ) 0 .5G j G j G j? ? ?? ? ? ? ? ?若令 可得對應的 K值 ( ) 1,iGj? ??1 2 31111 1 205 , , 2012 3()10K K KGjj ????? ? ? ? ??對應的，分別取 和 時，開環(huán)幅相曲線分別如下圖所示。 1 1 2 2 30 , ,K K K K K K K K? ? ? ? ? ?3KK?1 111 ( ) 1K Gjj ?? ?? 11110 ( ) 2Gjj ?? ??? 綜上，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時的 K值范圍為（ 0， 5）和（ 20/3， 20)。當 K等于 5， 20/3和 20時，奈奎斯特曲線穿越臨界點（ 1， j0),且在這三個值的鄰域，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定或不穩(wěn)定，因此系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。 例 59 已知延遲系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 2( ) ( ) , 01 seG s H s s ? ?????試根據(jù)奈氏判據(jù)確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時，延遲時間 值的范圍。 ? ()Rs ()Csse ??21 s?0?j21AB ?考研 解： 由圖知，延遲系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線 即半閉合曲線 為螺旋線，且為順時針方向，若開環(huán)幅相曲線與 點左側的負實軸有個 交點，則 包圍 點的圈數(shù)為 ，由于 ，故 ，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，則必有 。設 為開環(huán)幅相曲線穿越負實軸時的頻率，有 ( 1, 0)j?l12 GH?12 GH? 2l?( 1, 0)j?0P? 2Zl?0l? x?( ) a r c ta n ( 2 1 ) 。 0 , 1 , 2 , .. .x x x kk? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?鑒于 22()1x xA ? ?? ?當 增大時， 減小。而在頻率 為最小的 時，開環(huán)幅相曲線第一次穿過負實軸，因此 由下式求得 x? ()xA? ? xm?xm?( ) a r c ta nx m x m x m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?此時 達到最大，為使 ，必須使 即 ()xmA ? 0l? ( ) 1xmA ? ?3xm? ?由 解得 ( ) ( 2 1 )x k? ? ?? ? ? [ ( 2 1 ) a r c tan ]xxk? ? ? ?? ? ?注意到 22[ ( 2 1 ) a r c t a n ]10xxxxxkdd???????? ? ? ? ??? 為 的減函數(shù)，因此 亦為 的減函數(shù)。當 時， ，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當 時， ，系統(tǒng)不穩(wěn)定。故系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時值的范圍應為 ? x? x? ? ( a r c ta n 3