度量空間和線性賦范空間-資料下載頁
2025-06-24 03:24本頁面
【正文】 鄰域，. (表在作用之下的像集). 也可以用極限來定義映照的連續(xù)性，基于 Th 1 設(shè)是度量空間到度量空間中的映照：， 則在連續(xù) 當(dāng)時(shí)，必有. 證明 “” 設(shè)在連續(xù)，則0，0，. 且，都有. 因?yàn)椋?，? 所以. 所以. “” 反證法. 若在不連續(xù)，則0，. 0，雖然，但是. 特別取=，則有，有. 即時(shí)，有. . 若映照在的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱是上的連續(xù)映照. 稱集合(). 用開集刻劃連續(xù)映照，就是 Th 2 度量空間到中的映照是上的連續(xù)映照 任意開集，是中的開集. 證明 “” 設(shè)是連續(xù)映照，是中開集. 若=，則是中開集. 若，則，令=，則. 由于是開集，所以存在鄰域. 由的連續(xù)性，存在鄰域，. . 從而 . 所以是的內(nèi)點(diǎn). 因?yàn)槭侨我獾?，所以是中的開集. “” 設(shè)中每個(gè)開集的原像是開集. ，則是中的開集. 又，所以是的內(nèi)點(diǎn)，所以存在鄰域. 所以，所以在連續(xù). 又是任意的，所以是上的連續(xù)映照. 證畢. 利用=，又有 Th 度量空間到中的映照是上的連續(xù)映照 任意閉集，是中的閉集. 證明 “” 設(shè)是上的連續(xù)映照，又設(shè)，是閉集，則是開集. 由Th2, 是開集. 但=，故是中的閉集. “” 且是閉集，則是開集. 由=，及中任何閉集的總是中的閉集，得中任何開集的原像總是開集，由Th2, 是上的連續(xù)映照. 證畢. . 設(shè)為距離空間，為中的子集. 令=, . 證明是上的連續(xù)函數(shù). 證明 ，，.. ，因?yàn)?+，所以 +， 所以 , 所以，所以 . 同理 ||= ||0().所以是上的連續(xù)映照(Th 1). 作業(yè)： 206. 11. 12. 13. 作業(yè)解答： 11. 先證 0. 否則0，，. . 令=，則，. ,令，由于是二元連續(xù)函數(shù)，故得=0(是的聚點(diǎn)，是的聚點(diǎn)，聚點(diǎn)存在). 因此=與=相矛盾，故=0. ?。?，再令=，=，則與均為開集. 下證與都不相交. 若不然設(shè)，則++. 與相矛盾. 故任意二鄰域不相交，從而=.12. 取開集. 因?yàn)槭堑街械倪B續(xù)映照, 所以是開集. 因?yàn)槭堑街械倪B續(xù)映照，所以是開集. 即是開集. 所以 是到中的連續(xù)映照.13. 由Th或由=和Th2推得. 附注 區(qū)間及均為閉集.18
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