13-度量空間的可分性與完備性-資料下載頁
2025-08-05 00:25本頁面
【正文】 (),取，當時，使得，于是當時，有，所以為的基本列． (2)的存在性．由于是完備的度量空間，所以存在點，使得．令()式中的，可得即知，因此．(3) 的唯一性．設還存在，滿足，那么對于任意的，有，從而，于是．□注4：完備度量空間的另一種刻畫：設是一度量空間，那么是完備的當且僅當對于中的任何一套閉球：，其中，當半徑，必存在唯一的點．大家知道，可見有理數(shù)空間是不完備的，但添加一些點以后得到的實數(shù)空間是完備的，而完備的實數(shù)空間有著許多有理數(shù)空間不可比擬的好的性質與廣泛的應用．對于一般的度量空間也是一樣，完備性在許多方面起著重要作用．那么是否對于任一不完備的度量空間都可以添加一些點使之成為完備的度量空間呢？下面的結論給出了肯定的回答． 等距映射設，是度量空間，如果存在一一映射，使得，有，則稱是到上的等距映射，與是等距空間(或等距同構空間)．注5：從距離的角度看兩個等距的度量空間，至多是兩個空間里的屬性不同，是同一空間的兩個不同模型．另外度量空間中的元素沒有運算，與相關的數(shù)學命題，通過等距映射，使之在中同樣成立．因此把等距同構的和可不加區(qū)別而看成同一空間． 完備化空間設是一度量空間，是一完備的度量空間，如果中含有與等距同構且在中稠密的子集，則稱是的一個完備化空間． 度量空間的完備化示意圖 (完備化空間的存在與唯一性)對于每一個度量空間，必存在一個完備化的度量空間，并且在等距同構意義下是唯一確定的． 設，定義距離，試證不是完備的空間．證明 取點列，其中，注意，顯然不存在一點，使得．所以點列在中沒有極限．由于，即，當時，有，于是因此點列是基本列，卻不是收斂列．□9泛函分析導論 13
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