【正文】 特點(diǎn)，F(xiàn) (s)曲線繞原點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù) R 就是開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)曲線繞(－1，j0)點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。圖535 s和F(s)的映射關(guān)系a) F(s)的極點(diǎn)零點(diǎn)分布和封閉曲線 b)F(s)曲線示意圖 幅角原理：如果封閉曲線Γs 內(nèi)有 Z 個(gè)F (s)的零點(diǎn)、P 個(gè)F (s)的極點(diǎn)，則 s 沿Γs 順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F (s)平面上，F(xiàn) (s)曲線繞其原點(diǎn)反時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù) R 為 P 和 Z 之差，即 (581)R 若為負(fù)，表示F (s)曲線繞原點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。若 s 沿Γs 變化時(shí)，F(xiàn) (s)相角的變化為，則由方程(578)可得 (579)式中 ( i ＝ 1，2，… , n) 表示 s 沿Γs 變化時(shí)，向量相角的變化； ( j＝1，2，… ，n )的含義類似。 由上可知，輔助函數(shù)F (s)具有如下特點(diǎn)：第一，其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；第二，零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同；第三，F(xiàn) (s)和G (s)H (s)只差常數(shù)1。奈氏判據(jù)不僅能判別閉環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定性的概念，它還可用于討論閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能及指出改善系統(tǒng)性能指標(biāo)的途徑，成為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。類似的分析得知，7是一階微分環(huán)節(jié)交接頻率。試寫出該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。圖532 對(duì)應(yīng)的相頻特性曲線 兩者幅頻特性相同而相頻特性卻不同，且 參見圖532。 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 若系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面無零、極點(diǎn)，稱為最小相位系統(tǒng)。 該系統(tǒng) m ＝0，n ＝ 3 ，故特性曲線的高頻部分沿正虛軸方向趨于原點(diǎn)。 解： 經(jīng)分母有理化可得 （571） （572） 幅頻特性和相頻特性為 （573） （574） 這是Ⅰ型系統(tǒng)。 2. 終點(diǎn) 當(dāng)ω → ∞ 時(shí)，P(∞)＝ 0 ，Q(∞)＝0， A(∞)＝ 0 ，＝ －180176。 利用上述特點(diǎn)就可較快地大致畫出幅相特性的圖形，如果局部需要更精細(xì)些，則可再確定若干個(gè)點(diǎn)來畫。圖528 0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)幅相曲線的起點(diǎn)平面平面圖529 幅相曲線的終點(diǎn) （3）開環(huán)幅相特性曲線與虛、實(shí)軸的交點(diǎn)：如果特性曲線轉(zhuǎn)過了幾個(gè)象限，它必定與實(shí)軸或虛軸有交點(diǎn)。變化到 －(n－m)90176?！?0176。圖528繪出0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)的幅相曲線低頻部分的一般形狀。 對(duì)于0型系統(tǒng)，當(dāng)ω ＝ 0時(shí)，由式(565)可得 A(0)＝K，即幅值等于開環(huán)增益；而 ＝ 0176。 系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制設(shè)已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 （564） 在式(564)中沒有二次因式表示，這并不影響以后的分析。因?yàn)閷?duì)數(shù)相頻特性的橫坐標(biāo)是按logω劃分的。對(duì)數(shù)頻率特性如圖525所示。平面圖520 純微分環(huán)節(jié)的幅相曲線純微分環(huán)節(jié)的幅相曲線和對(duì)數(shù)頻率特性分別如圖520和圖521所示。；當(dāng)時(shí)，＝－90176。 圖518 a繪出了以相對(duì)頻率ωT為橫坐標(biāo)的振蕩環(huán)節(jié)的漸近線和按式(548)得到的準(zhǔn)確曲線。當(dāng) 時(shí)，將式 (546)代入式(544)可得幅頻特性的諧振峰值為 (547)圖517 振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性平面圖516 振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線 2. 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為 （548） 在低頻段，當(dāng)時(shí)，即時(shí) （549） 在高頻段，當(dāng)時(shí)，即時(shí) （550）式(549) 表示一條和橫坐標(biāo)軸相重合的直線(即零dB線)，稱為振蕩環(huán)節(jié)的低頻漸近線。這一特點(diǎn)，在繪制振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線時(shí)應(yīng)予以注意。值愈小，虛軸上的交點(diǎn)離原點(diǎn)愈遠(yuǎn)，當(dāng)ω → ∞時(shí)，A(ω)→0，→ －180176。以代替 s 可得振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性。 當(dāng) 時(shí) （537） 當(dāng) 時(shí)（538）顯然，最大誤差發(fā)生在交接頻率處，最大誤差為對(duì)數(shù)幅頻特性的交接頻率與 T 有關(guān)，但對(duì)數(shù)幅頻特性的形狀是不變的。當(dāng)ω→∞時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線趨于高頻漸近線。在低頻段，ω 很小，當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似為 (535) 這是一條縱坐標(biāo)分貝值為20 log K，平行于橫軸的直線，稱為低頻漸近線。證明如下：平面圖513 慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線 用式(528)除以式(527)可得 （531） 將式(531)代入式(527)，則有即 (532) 最后整理得 (533) 顯然，在 P Q 的直角坐標(biāo)平面上，慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線是圓心為 ,半徑為，位于第Ⅳ象限的半圓。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率圖512 積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性a)對(duì)數(shù)幅頻特性b)對(duì)數(shù)相頻特性特性如圖512所示。頻率ω 從0 ～∞時(shí)，特性曲線由虛軸的 －j∞ 處趨向原點(diǎn)。 另一種曲線是對(duì)數(shù)幅相曲線(又稱尼柯爾斯曲線)，對(duì)應(yīng)的曲線圖稱為對(duì)數(shù)幅相圖(又稱尼柯爾斯圖)，對(duì)數(shù)幅相曲線在這里就不介紹了。所以對(duì)數(shù)幅頻特性曲線和對(duì)數(shù)相頻特性曲線是畫在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上，頻率軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)。例如ω２＝10ω１，則。為了表示頻率特性和傳遞函數(shù)的關(guān)系，通常繪有頻率特性曲線的復(fù)平面標(biāo)注為G(s)平面，將在G(s)平面上繪有頻率特性的圖稱為頻率特性的極坐標(biāo)圖或奈奎斯特圖。在復(fù)平面上又代表一個(gè)向量，當(dāng) ω 從0變化到 ∞ 時(shí)，相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線，這條曲線就是幅相曲線(極坐標(biāo)曲線)或Nyquist曲線，RC電路的幅相曲線如圖58所示。復(fù)平面圖57 幅相曲線 前面講過RC電路的傳遞函數(shù)為式中T=RC ，由上式可求得頻率特性  幅頻特性  相頻特性 對(duì)于一個(gè)確定的頻率，必有一個(gè)幅頻特性的幅值和相頻特性的相角與之對(duì)應(yīng)。在工程分析和設(shè)計(jì)中，通常把頻率特性畫成曲線，從這些頻率特性曲線出發(fā)進(jìn)行研究，常用的頻率特性曲線有幅相頻率特性曲線、對(duì)數(shù)頻率特性曲線和對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線，下面介紹前兩種頻率特性曲線。 (直角坐標(biāo)表示式) （56） (極坐標(biāo)表示式) （57） (指數(shù)表示式) （58） 在以上各式中，通常稱P(ω) 為實(shí)頻特性；Q(ω) 為虛頻特性；A(ω) 為幅頻特性；為相頻特性 ；｜G( jω)｜為G(jω)的模；為 G( j ω)的相角。 它們都反映了系統(tǒng)的固有特性，一個(gè)系統(tǒng)可以用這三種不同的數(shù)學(xué)模型來描述，知道其中一種數(shù)學(xué)模型便可求出另一種數(shù)學(xué)模型。我們定義正弦輸出量與正弦輸入量的幅值之比 為幅頻特性，它描述系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)，在穩(wěn)態(tài)情況下的衰減（或放大）特性。圖52 RC電路的幅頻特性和相頻特性a) 幅頻特性 b) 相頻特性 由曲線可見，輸入電壓的頻率ω 較低時(shí)，輸出和輸入的幅值相等，相角遲后不大，ω 增大時(shí)，輸出的幅值減小，相角遲后增大，ω→∞時(shí)，輸出幅值為零，相角遲后90176。圖51所示的 RC 電路，ui(t)和uo(t)分別為電路的輸入電壓和輸出電壓，電路的微分方程為圖51 RC電路式中T＝RC為電路的時(shí)間常數(shù)。 159第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 頻率特性及其描述 頻率特性的基本概念及求取 頻率特性的表示方法 1. 代數(shù)表示方法 2. 幾何表示方法 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 控制系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性的繪制及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1. 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 2. 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 控制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制及對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制 應(yīng)用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 非單位反饋控制系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 非單位反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 增益裕量 相角裕量 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性分析 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性分析 閉環(huán)頻率特性與開環(huán)頻率特性的關(guān)系 等M圓與等N圓 閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo) 應(yīng)用MATLAB繪制系統(tǒng)的頻率特性 例題精解本章小結(jié)習(xí)題第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析 本章將研究頻率特性的基本概念、典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性曲線、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、穩(wěn)定裕度、根據(jù)頻率特性求過渡過程性能指標(biāo)的方法及MATLAB在繪制系統(tǒng)的頻率特性中的應(yīng)用。下面以 RC 電路為例，說明頻率特性的基本概念。由式(52)可見，電路的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是正弦電壓，其頻率和輸入電壓的頻率相同，幅值是輸入幅值的倍,相角比輸入遲后 顯然 和都是ω 的函數(shù)，前者稱為 RC 電路的幅頻特性，后者稱為RC 電路的相頻特性，圖52繪出了RC 電路的幅頻和相頻曲線。進(jìn)一步研究可知穩(wěn)態(tài)輸出分量的振幅Y 與輸入正弦函數(shù)的振幅 X 的比值 Y /X 和相角差都是角頻率的函數(shù)。用表示這一向量，當(dāng)然它也是的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為圖55 頻率特性向量表示法 （53） 利用和可將輸出正弦函數(shù)的幅值和相角表示為 （54） （55）頻率特性和傳遞函數(shù)以及微分方程一樣，也表征了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此頻率特性也是數(shù)學(xué)模型的一種，是頻率域的數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型，微分方程是時(shí)間域的數(shù)學(xué)模型。 頻率特性的表示方法1. 代數(shù)表示方法 顯然，頻率特性 是一復(fù)數(shù)，所以它和其它復(fù)數(shù)一樣，可表示為直角坐標(biāo)形式、極坐標(biāo)形式和指數(shù)形式。2. 幾何表示方法 除了數(shù)學(xué)表達(dá)式外，圖形比數(shù)學(xué)表達(dá)式更形象，使用也更方便。 根據(jù)幅相特性曲線上任一點(diǎn)的實(shí)部、虛部和由原點(diǎn)到這一點(diǎn)向量的幅值、相角可以得相應(yīng)于該點(diǎn)頻率的實(shí)頻特性、虛頻特性、幅頻特性和相頻特性，如圖57所示。ω ＝ 0時(shí)，A(0) ＝ 1，同樣幅值1和相角0 176。幅頻特性是ω的偶函數(shù)，相頻特性是ω的奇函數(shù)，因此,ω 從0～－∞的頻率特性曲線和ω從0～∞的頻率特性曲線是對(duì)稱于實(shí)軸的。圖59 對(duì)數(shù)坐標(biāo)與線性坐標(biāo)a)對(duì)數(shù)分度 b)線性分度頻率軸上每一線性單位表示頻率的十倍變化稱十倍頻程或十倍頻，用符號(hào)dec表示。對(duì)數(shù)相頻特性的縱坐標(biāo)，一般用度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。 （3）將實(shí)驗(yàn)獲得的頻率特性數(shù)據(jù)畫成對(duì)數(shù)頻率特性曲線，能方便地確定頻率特性的函數(shù)表達(dá)式或傳遞函數(shù)。圖510 比例環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性a)對(duì)數(shù)幅頻特性 b)對(duì)數(shù)相拼特性、積分環(huán)節(jié)的頻率特性 積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 頻率特性 (520) 由此可得積分環(huán)節(jié)的 實(shí)頻特性 (521) 虛頻特性  （522） 幅頻特性 （523） 相頻特性 (524)圖511 積分環(huán)節(jié)的幅相曲線對(duì)數(shù)幅頻特性 (525)積分環(huán)節(jié)的幅相曲線如圖511所示，重合于負(fù)虛軸。直線的位置由下式確定：當(dāng)ω ＝ 1時(shí)，logω＝ 0，L (ω)＝20 logK ，直線過點(diǎn) (1,20log K ) ，或當(dāng)logω ＝ log K ,ω ＝K 時(shí)，L (ω)＝ 0，即直線與ω 軸的交點(diǎn)在ω＝ K