【正文】 處。 慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線(xiàn)是一個(gè)半圓。但工程上常用分段直線(xiàn)近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)。交接頻率精確特性高頻漸近線(xiàn)（斜率 20dB/dec)低頻漸近線(xiàn)交接頻率圖514 慣性環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性a)對(duì)數(shù)幅頻特性b)對(duì)數(shù)相頻特性 當(dāng)ω →0時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性曲線(xiàn)趨于低頻漸近線(xiàn)。其誤差可由下式確定。表521020100354576 、振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性 振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) （540） 式中， T為時(shí)間常數(shù)，K為比例系數(shù)，為阻尼系數(shù)，0≤ ≤1。當(dāng)ω＝ 0時(shí)，A(ω)＝ 1，＝ 0，頻率特性在正實(shí)軸上；當(dāng)時(shí)，頻率特性和負(fù)虛軸相交。當(dāng)值較小時(shí)，幅頻特性有極大值，稱(chēng)諧振峰值。當(dāng)時(shí)，ωP ＝ 0 ；當(dāng)時(shí)，ωP 為虛數(shù)，說(shuō)明幅頻特性不存在諧振峰值。兩漸近線(xiàn)交點(diǎn)的頻率為，稱(chēng)為振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。 由式 (545)可繪出振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性，其特點(diǎn)是：當(dāng)ω ＝ 0時(shí)， ；當(dāng)ω →∞時(shí)，→－180176。純微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)分別為 頻率特性分別為 （553） (554) (555) +20dB/dec圖521 純微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性當(dāng)各環(huán)節(jié)的比例系數(shù)K＝1時(shí)，上述各微分環(huán)節(jié)的頻率特性分別為積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性的倒數(shù)，所以不難繪制各微分環(huán)節(jié)的頻率特性。精確特性高頻漸近線(xiàn)低頻漸近線(xiàn)交接頻率+40dB/dec圖525 二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性二階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線(xiàn)如圖524所示。 對(duì)數(shù)相頻特性為指數(shù)曲線(xiàn)，它不是直線(xiàn)。53 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性的繪制及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)時(shí)頻率特性和它在閉環(huán)時(shí)的頻率特性是有密切聯(lián)系的，因此可以利用開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)分析研究系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)的工作特性，如可以利用開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。 開(kāi)環(huán)幅相特性有如下特點(diǎn)： （1）開(kāi)環(huán)幅相特性曲線(xiàn)的起點(diǎn)，即ω ＝ 0的點(diǎn)：起點(diǎn)與系統(tǒng)的類(lèi)型有關(guān)，也就是與系統(tǒng)積分個(gè)數(shù) v 有關(guān)。對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)ω →0時(shí)，或者由ω→0,A(0) → ∞，可知曲線(xiàn)起始于負(fù)實(shí)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)的幅相特性如圖 528所示。 （2）開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)的終點(diǎn)：對(duì)最小相位系統(tǒng)(開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)都在左半復(fù)平面上的系統(tǒng))來(lái)說(shuō)，當(dāng)ω 由0～∞時(shí)，各一次因子的相位為，都由0176。 因此，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的相位將由 － v 90176。處的始點(diǎn)開(kāi)始，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)(n－v－m)個(gè)象限后到達(dá)原點(diǎn)，如圖529所示。 由Q(ω ) ＝ 0求解出曲線(xiàn)與實(shí)軸相交時(shí)的ω 值，用此ω 求得的P(ω)即為曲線(xiàn)與實(shí)軸的交點(diǎn)值。 解： 分母有理化 實(shí)頻特性 (567) 虛頻特性 (568) 幅頻特性 (569) 相頻特性  (570) 1. 起點(diǎn) 當(dāng)ω ＝ 0時(shí)，P(0)＝K，Q(0)＝0，A(0)＝ K,＝0176。 例52 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為平面圖530 例題51的幅相曲線(xiàn)試?yán)L出幅相曲線(xiàn)。 2. 終點(diǎn) 當(dāng)ω → ∞ 時(shí)，P(∞) ＝ 0 ，Q(∞) ＝0， A(∞) ＝ 0 。幅相曲線(xiàn)如圖531所示。例如最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為 式中 0＜T ＜T１。 例53 某最小相角系統(tǒng)，其近似對(duì)數(shù)幅頻曲線(xiàn)如圖533所示。 因?yàn)棣?為2時(shí)，近似特性從－20dB/dec變?yōu)椋?0dB/dec，故2是慣性環(huán)節(jié)交接頻率。 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性可由分析法給出，在系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式不能確切知道時(shí)，也可用實(shí)驗(yàn)測(cè)得。圖中設(shè)G (s)和H (s)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比圖534 反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如果G (s)和H (s)無(wú)極點(diǎn)與零點(diǎn)對(duì)消，則系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) (575)閉環(huán)傳遞函數(shù) (576) 奈氏判據(jù)是從研究閉環(huán)和開(kāi)環(huán)特征多項(xiàng)式之比這一函數(shù)著手的，這個(gè)函數(shù)仍是復(fù)變量 s的函數(shù)，并稱(chēng)之為輔助函數(shù)，記作F (s)，即 (577)輔助函數(shù)和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有以下簡(jiǎn)單關(guān)系考慮到物理系統(tǒng)中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪必小于分母的最高次冪，故F (s)可改寫(xiě)為 (578)式Zi和Pi 分別為F (s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。相應(yīng)地，F(xiàn) (s)則從F (s)平面上 B 出發(fā)且回到 B ，也描出一條封閉曲線(xiàn)ΓＦ ，如圖535 b所示。同理，當(dāng) s 從 s 平面 A 開(kāi)始，繞著F (s)的某個(gè)極點(diǎn)Pk順時(shí)針轉(zhuǎn)一圈時(shí)，在F (s)平面上，F(xiàn) (s)曲線(xiàn)繞其原點(diǎn)0反時(shí)針轉(zhuǎn)一圈。幅角原理表達(dá)式(581)中的P和 Z 則分別表示輔助函數(shù)F (s)位于右半 s 平面的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)。 P —— 輔助函數(shù)F (s)在右半 s 平面極點(diǎn)數(shù)；即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)。 奈氏判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線(xiàn)反時(shí)針包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)R 等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù) P ，即 R ＝ P ，Z ＝0；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Z ≠0，存在閉環(huán)正實(shí)部的特征根，閉環(huán)正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù) Z 可按下式確定： (582) 2. 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過(guò)例題說(shuō)明例54 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試用奈氏判據(jù)判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)ω從－∞～＋∞ 時(shí)，奈氏曲線(xiàn)以順時(shí)針包圍(－1，j0 )點(diǎn)兩圈，即 R ＝－2。為使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而且仍然能包圍整個(gè)右半 s 平面，現(xiàn)以原點(diǎn)為圓心作一半徑為無(wú)窮小的右半圓。 將半徑為無(wú)窮小的半圓上的點(diǎn)表示為 (583)將式(583)代入上面G K(s)中，對(duì)于Ⅰ型系統(tǒng)，則有 (584)它是半徑為無(wú)窮大的右半圓。→ ∞時(shí)，當(dāng)由變化到時(shí)，是＋π變化到－π，如圖539所示。 由奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的實(shí)際方法： 用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，一般只需繪制ω從0到＋∞時(shí)的開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)，再加上正實(shí)軸后形成封閉曲線(xiàn)，然后按其包圍 (－1，j0)點(diǎn)圈數(shù) N (反時(shí)針?lè)较虬鼑鷷r(shí)為正，順時(shí)針?lè)较虬鼑鷷r(shí)為負(fù))和開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面上的極點(diǎn)數(shù) P ，再根據(jù)公式 (586) 確定閉環(huán)特征方程在右半 s 平面上的根的個(gè)數(shù)。 例55 設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如圖540所示，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在右半 s 平面上沒(méi)有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。因此，閉環(huán)特征方程位于右半 s 平面上的根的個(gè)數(shù) Z ＝ P－ 2 N ＝0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，閉環(huán)特征方程在右半 s 平面上的根的個(gè)數(shù) Z ＝P－2 N ＝2，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 實(shí)際繪出系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性時(shí)，可不必先繪出各環(huán)節(jié)的特性，而按以下步驟一次完成： 1. 確定 K 值、v 值和各個(gè)環(huán)節(jié)的交接頻率：， ，并將各交接頻率從小到大標(biāo)注在頻率軸上。 3. 以低頻漸近線(xiàn)作為分段直線(xiàn)的第一段，從低頻端開(kāi)始沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)交接頻率改變一次分段直線(xiàn)的斜率： 當(dāng)遇到 ωi 時(shí)，斜率的變化量為 ＋20 dB/dec； 當(dāng)遇到 ωk 時(shí)，斜率的變化量為 ＋40 dB/dec； 當(dāng)遇到 ωj 時(shí)，斜率的變化量為 － 20 dB/dec； 當(dāng)遇到 ωl 時(shí)，斜率的變化量為 －40 dB/dec。 分段直線(xiàn)的最后一段是開(kāi)環(huán)系統(tǒng)對(duì)數(shù)幅頻特性的高頻漸近線(xiàn)。 2. 低頻漸近線(xiàn)的斜率為 －20 vdB/dec＝0 dB/dec 當(dāng)ω＝1時(shí)，L (ω) ＝ 20 logK＝20dB。ω →0時(shí)，＝0176。圖545 例題58的對(duì)數(shù)頻率特性 解：將頻率特性表示為其中，為延遲環(huán)節(jié)的頻率特性， 為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不包括延遲環(huán)節(jié)部分的頻率特性。由圖546 a可知，幅相曲線(xiàn)包圍 (－1, j 0 )點(diǎn)的圈數(shù) N ＝0。線(xiàn)次數(shù)確定。 圖546 b上，也用 (＋)和 (－) 標(biāo)出了正、負(fù)穿越，同樣得 N ＋＝ N －＝1 ，因而N＝0。線(xiàn)的正負(fù)穿越數(shù)之差 N ＝ N＋－ N－ 確定，即Z ＝P －2 N Z ＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。到－180176。由于 Z ＝P －2 N ＝2，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程在右半 s 平面的根數(shù)為2。當(dāng)環(huán)節(jié)和單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)Φ ′(s) 都是穩(wěn)定時(shí)，圖548 a 所示的非單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)和整個(gè)控制系統(tǒng)其余開(kāi)環(huán)部分在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)判別整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。給定輸入作用下的系統(tǒng)和擾動(dòng)輸入作用下的系統(tǒng)，均可應(yīng)用奈氏判據(jù)。 根據(jù)奈氏判據(jù)，當(dāng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線(xiàn)穿過(guò)(－1，j 0 )點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定系統(tǒng)的幅相曲線(xiàn)越遠(yuǎn)離(－1，j 0 )點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定的程度越好。即 （590） 式中ωg 稱(chēng)為相角交界頻率，在ωg 處， (ωg )＝ －180 176。 它的含義是：如果系統(tǒng)在頻率ωc 處的相角遲后再增大度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。例510 某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 求相角裕度和幅值裕度，并判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 上面求相角裕度和幅值裕度20 log h 都是在圖形上查出來(lái)的，下面以此題為例介紹另一種求ωc 和相角裕度的方法。則。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 從計(jì)算結(jié)果看，這種求法有一定的誤差，但此方法在要求不太高的情況下，還是很實(shí)用的。這可以通過(guò)減小開(kāi)環(huán)增益K 的辦法來(lái)達(dá)到。 24176。圓心為〔M 2 / (1－M2) ，j0〕，半徑為 ｜ M / (1－M 2 )｜。無(wú)論 N 等于多少，P ＝ Q ＝0和 P ＝ －1，Q ＝0時(shí)，方程(595)總成立，故每個(gè)圓都過(guò)原點(diǎn)和(－1，j 0)點(diǎn)。,對(duì)應(yīng)同一等 N 圖，這是因?yàn)?tg 60 176。 圖559的 a和 b是畫(huà)在等 M 圓圖和等N圓圖上的開(kāi)環(huán)幅相曲線(xiàn)，c是求得的閉環(huán)頻率特性曲線(xiàn)。58 系統(tǒng)的頻率法分析 、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系 在第三章中給出了由開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的公式，下面將討論頻率特性和穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系。對(duì)于0型系統(tǒng)，其對(duì)數(shù)幅頻特性如圖556 a所示，v ＝0在低頻區(qū)，GK( jω)＝K ，即對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸近線(xiàn)是一條20logK分貝的水平線(xiàn)，由其縱坐標(biāo)就確定了系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K ，便可求穩(wěn)態(tài)誤差。 帶寬越寬，重現(xiàn)輸入信號(hào)的能力越強(qiáng)，上升時(shí)間越短，但對(duì)于高頻干擾的過(guò)濾能力越差。由式 (5100)得 令A(yù) (ω)＝1，可求得截止頻率為 (5103) 當(dāng)ω ＝ωc時(shí)，相角大小為 系統(tǒng)相角裕度為 (5104) 式(5103)和式(5104)表示了典型二階系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻域性能指標(biāo) ，ωc 和 ，ωn 的關(guān)系。 1. 相角裕度 ，諧振和最大超調(diào)量%的關(guān)系 相角裕度 ，諧振峰值和最大超調(diào)量%有確定的關(guān)系，圖558繪出了，和的關(guān)系曲線(xiàn)。ωc 和 ts 也有一定關(guān)系，一般說(shuō)來(lái)，ωc 愈大，ωb 愈大，ts 愈小，諧振頻率ωp和阻尼振蕩頻率ωd 的關(guān)系為圖560 的關(guān)系曲線(xiàn) 當(dāng) 0＜ ＜ 時(shí)，ωp 愈大，ωd 也愈大，如圖560。例59 設(shè)單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，試求時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。 當(dāng)ω 由 0～∞ 時(shí) ，P (ω)＜0 ，Q (ω)＜0，亦即在－180 176。 當(dāng)ω 從－∞變化到＋∞，奈氏曲線(xiàn)反時(shí)針包圍 (－1，j 0 )點(diǎn)的圈數(shù) R 與 K 有關(guān)。 ① 當(dāng) 時(shí)，ω由0～＋∞時(shí)在Ⅲ象限內(nèi)由 —180176。 ② 當(dāng) 時(shí)，,＝ －180 176。變到－180 176。 解：1. K ＝10－３，v ＝2，各個(gè)環(huán)節(jié)的交接頻率。當(dāng)ω ＝ω2 ＝，在此頻率上作斜率為－20dB/dec 的直線(xiàn)。斜率單位 d