【正文】 當(dāng)ω ＝ω2 ＝，在此頻率上作斜率為－20dB/dec 的直線。變到－180 176。 ① 當(dāng) 時(shí)，ω由0～＋∞時(shí)在Ⅲ象限內(nèi)由 —180176。 當(dāng)ω 由 0～∞ 時(shí) ，P (ω)＜0 ，Q (ω)＜0，亦即在－180 176。ωc 和 ts 也有一定關(guān)系，一般說(shuō)來(lái)，ωc 愈大，ωb 愈大，ts 愈小，諧振頻率ωp和阻尼振蕩頻率ωd 的關(guān)系為圖560 的關(guān)系曲線 當(dāng) 0＜ ＜ 時(shí)，ωp 愈大，ωd 也愈大，如圖560。由式 (5100)得 令A(yù) (ω)＝1，可求得截止頻率為 (5103) 當(dāng)ω ＝ωc時(shí)，相角大小為 系統(tǒng)相角裕度為 (5104) 式(5103)和式(5104)表示了典型二階系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻域性能指標(biāo) ，ωc 和 ，ωn 的關(guān)系。對(duì)于0型系統(tǒng)，其對(duì)數(shù)幅頻特性如圖556 a所示，v ＝0在低頻區(qū)，GK( jω)＝K ，即對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻漸近線是一條20logK分貝的水平線，由其縱坐標(biāo)就確定了系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K ，便可求穩(wěn)態(tài)誤差。 圖559的 a和 b是畫(huà)在等 M 圓圖和等N圓圖上的開(kāi)環(huán)幅相曲線，c是求得的閉環(huán)頻率特性曲線。無(wú)論 N 等于多少，P ＝ Q ＝0和 P ＝ －1，Q ＝0時(shí)，方程(595)總成立，故每個(gè)圓都過(guò)原點(diǎn)和(－1，j 0)點(diǎn)。 24176。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 從計(jì)算結(jié)果看，這種求法有一定的誤差，但此方法在要求不太高的情況下，還是很實(shí)用的。 上面求相角裕度和幅值裕度20 log h 都是在圖形上查出來(lái)的，下面以此題為例介紹另一種求ωc 和相角裕度的方法。 它的含義是：如果系統(tǒng)在頻率ωc 處的相角遲后再增大度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 根據(jù)奈氏判據(jù)，當(dāng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性曲線穿過(guò)(－1，j 0 )點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定系統(tǒng)的幅相曲線越遠(yuǎn)離(－1，j 0 )點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定的程度越好。然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)和整個(gè)控制系統(tǒng)其余開(kāi)環(huán)部分在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù)判別整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于 Z ＝P －2 N ＝2，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程在右半 s 平面的根數(shù)為2。線的正負(fù)穿越數(shù)之差 N ＝ N＋－ N－ 確定，即Z ＝P －2 N Z ＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。線次數(shù)確定。圖545 例題58的對(duì)數(shù)頻率特性 解：將頻率特性表示為其中，為延遲環(huán)節(jié)的頻率特性， 為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)不包括延遲環(huán)節(jié)部分的頻率特性。 2. 低頻漸近線的斜率為 －20 vdB/dec＝0 dB/dec 當(dāng)ω＝1時(shí)，L (ω) ＝ 20 logK＝20dB。 3. 以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開(kāi)始沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)交接頻率改變一次分段直線的斜率： 當(dāng)遇到 ωi 時(shí)，斜率的變化量為 ＋20 dB/dec； 當(dāng)遇到 ωk 時(shí)，斜率的變化量為 ＋40 dB/dec； 當(dāng)遇到 ωj 時(shí)，斜率的變化量為 － 20 dB/dec； 當(dāng)遇到 ωl 時(shí)，斜率的變化量為 －40 dB/dec。因此，閉環(huán)特征方程在右半 s 平面上的根的個(gè)數(shù) Z ＝P－2 N ＝2，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 例55 設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性如圖540所示，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在右半 s 平面上沒(méi)有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性?！?∞時(shí)，當(dāng)由變化到時(shí)，是＋π變化到－π，如圖539所示。為使奈氏路徑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，而且仍然能包圍整個(gè)右半 s 平面，現(xiàn)以原點(diǎn)為圓心作一半徑為無(wú)窮小的右半圓。 奈氏判據(jù)：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線反時(shí)針包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)R 等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面的極點(diǎn)數(shù) P ，即 R ＝ P ，Z ＝0；否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，Z ≠0，存在閉環(huán)正實(shí)部的特征根，閉環(huán)正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù) Z 可按下式確定： (582) 2. 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過(guò)例題說(shuō)明例54 設(shè)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ，試用奈氏判據(jù)判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。幅角原理表達(dá)式(581)中的P和 Z 則分別表示輔助函數(shù)F (s)位于右半 s 平面的極點(diǎn)和零點(diǎn)數(shù)。相應(yīng)地，F(xiàn) (s)則從F (s)平面上 B 出發(fā)且回到 B ，也描出一條封閉曲線ΓＦ ，如圖535 b所示。 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性可由分析法給出，在系統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)式不能確切知道時(shí)，也可用實(shí)驗(yàn)測(cè)得。 例53 某最小相角系統(tǒng)，其近似對(duì)數(shù)幅頻曲線如圖533所示。幅相曲線如圖531所示。 例52 設(shè)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為平面圖530 例題51的幅相曲線試?yán)L出幅相曲線。 由Q(ω ) ＝ 0求解出曲線與實(shí)軸相交時(shí)的ω 值，用此ω 求得的P(ω)即為曲線與實(shí)軸的交點(diǎn)值。 因此，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的相位將由 － v 90176。對(duì)于Ⅱ型系統(tǒng)，當(dāng)ω →0時(shí)，或者由ω→0,A(0) → ∞，可知曲線起始于負(fù)實(shí)軸的無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)的幅相特性如圖 528所示。53 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)幅相頻率特性的繪制及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)在開(kāi)環(huán)時(shí)頻率特性和它在閉環(huán)時(shí)的頻率特性是有密切聯(lián)系的，因此可以利用開(kāi)環(huán)頻率特性來(lái)分析研究系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)的工作特性，如可以利用開(kāi)環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性等。精確特性高頻漸近線低頻漸近線交接頻率+40dB/dec圖525 二階微分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性二階微分環(huán)節(jié)的幅相曲線如圖524所示。 由式 (545)可繪出振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性，其特點(diǎn)是：當(dāng)ω ＝ 0時(shí)， ；當(dāng)ω →∞時(shí)，→－180176。當(dāng)時(shí)，ωP ＝ 0 ；當(dāng)時(shí)，ωP 為虛數(shù)，說(shuō)明幅頻特性不存在諧振峰值。當(dāng)ω＝ 0時(shí)，A(ω)＝ 1，＝ 0，頻率特性在正實(shí)軸上；當(dāng)時(shí)，頻率特性和負(fù)虛軸相交。其誤差可由下式確定。但工程上常用分段直線近似表示對(duì)數(shù)幅頻特性曲線。直線的位置由下式確定：當(dāng)ω ＝ 1時(shí)，logω＝ 0，L (ω)＝20 logK ，直線過(guò)點(diǎn) (1,20log K ) ，或當(dāng)logω ＝ log K ,ω ＝K 時(shí)，L (ω)＝ 0，即直線與ω 軸的交點(diǎn)在ω＝ K處。 （3）將實(shí)驗(yàn)獲得的頻率特性數(shù)據(jù)畫(huà)成對(duì)數(shù)頻率特性曲線，能方便地確定頻率特性的函數(shù)表達(dá)式或傳遞函數(shù)。圖59 對(duì)數(shù)坐標(biāo)與線性坐標(biāo)a)對(duì)數(shù)分度 b)線性分度頻率軸上每一線性單位表示頻率的十倍變化稱十倍頻程或十倍頻，用符號(hào)dec表示。ω ＝ 0時(shí)，A(0) ＝ 1，同樣幅值1和相角0 176。2. 幾何表示方法 除了數(shù)學(xué)表達(dá)式外，圖形比數(shù)學(xué)表達(dá)式更形象，使用也更方便。用表示這一向量，當(dāng)然它也是的函數(shù)，稱為系統(tǒng)的頻率特性，記為圖55 頻率特性向量表示法 （53） 利用和可將輸出正弦函數(shù)的幅值和相角表示為 （54） （55）頻率特性和傳遞函數(shù)以及微分方程一樣，也表征了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，因此頻率特性也是數(shù)學(xué)模型的一種，是頻率域的數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型，微分方程是時(shí)間域的數(shù)學(xué)模型。由式(52)可見(jiàn)，電路的穩(wěn)態(tài)輸出仍然是正弦電壓，其頻率和輸入電壓的頻率相同，幅值是輸入幅值的倍,相角比輸入遲后 顯然 和都是ω 的函數(shù)，前者稱為 RC 電路的幅頻特性，后者稱為RC 電路的相頻特性，圖52繪出了RC 電路的幅頻和相頻曲線。 159第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析 頻率特性及其描述 頻率特性的基本概念及求取 頻率特性的表示方法 1. 代數(shù)表示方法 2. 幾何表示方法 典型環(huán)節(jié)的頻率特性 控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性的繪制及奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 1. 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 2. 應(yīng)用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制及對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制 應(yīng)用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 非單位反饋控制系統(tǒng)和多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 非單位反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性 增益裕量 相角裕量 控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性分析 閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性分析 閉環(huán)頻率特性與開(kāi)環(huán)頻率特性的關(guān)系 等M圓與等N圓 閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo) 應(yīng)用MATLAB繪制系統(tǒng)的頻率特性 例題精解本章小結(jié)習(xí)題第五章 控制系統(tǒng)的頻域分析 本章將研究頻率特性的基本概念、典型環(huán)節(jié)和系統(tǒng)的頻率特性曲線、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、穩(wěn)定裕度、根據(jù)頻率特性求過(guò)渡過(guò)程性能指標(biāo)的方法及MATLAB在繪制系統(tǒng)的頻率特性中的應(yīng)用。圖52 RC電路的幅頻特性和相頻特性a) 幅頻特性 b) 相頻特性 由曲線可見(jiàn)，輸入電壓的頻率ω 較低時(shí)，輸出和輸入的幅值相等，相角遲后不大，ω 增大時(shí)，輸出的幅值減小，相角遲后增大，ω→∞時(shí)，輸出幅值為零，相角遲后90176。 它們都反映了系統(tǒng)的固有特性，一個(gè)系統(tǒng)可以用這三種不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述，知道其中一種數(shù)學(xué)模型便可求出另一種數(shù)學(xué)模型。在工程分析和設(shè)計(jì)中，通常把頻率特性畫(huà)成曲線，從這些頻率特性曲線出發(fā)進(jìn)行研究，常用的頻率特性曲線有幅相頻率特性曲線、對(duì)數(shù)頻率特性曲線和對(duì)數(shù)幅相頻率特性曲線，下面介紹前兩種頻率特性曲線。在復(fù)平面上又代表一個(gè)向量，當(dāng) ω 從0變化到 ∞ 時(shí)，相應(yīng)向量的矢端就描繪出一條曲線，這條曲線就是幅相曲線(極坐標(biāo)曲線)或Nyquist曲線，RC電路的幅相曲線如圖58所示。例如ω２＝10ω１，則。 另一種曲線是對(duì)數(shù)幅相曲線(又稱尼柯?tīng)査骨€)，對(duì)應(yīng)的曲線圖稱為對(duì)數(shù)幅相圖(又稱尼柯?tīng)査箞D)，對(duì)數(shù)幅相曲線在這里就不介紹了。積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率圖512 積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性a)對(duì)數(shù)幅頻特性b)對(duì)數(shù)相頻特性特性如圖512所示。在低頻段，ω 很小，當(dāng)時(shí)，對(duì)數(shù)幅頻特性可以近似為 (535) 這是一條縱坐標(biāo)分貝值為20 log K，平行于橫軸的直線，稱為低頻漸近線。 當(dāng) 時(shí) （537） 當(dāng) 時(shí)（538）顯然，最大誤差發(fā)生在交接頻率處，最大誤差為對(duì)數(shù)幅頻特性的交接頻率與 T 有關(guān)，但對(duì)數(shù)幅頻特性的形狀是不變的。值愈小，虛軸上的交點(diǎn)離原點(diǎn)愈遠(yuǎn)，當(dāng)ω → ∞時(shí)，A(ω)→0，→ －180176。當(dāng) 時(shí)，將式 (546)代入式(544)可得幅頻特性的諧振峰值為 (547)圖517 振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性平面圖516 振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線 2. 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線 振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性為 （548） 在低頻段，當(dāng)時(shí)，即時(shí) （549） 在高頻段，當(dāng)時(shí)，即時(shí) （550）式(549) 表示一條和橫坐標(biāo)軸相重合的直線(即零dB線)，稱為振蕩環(huán)節(jié)的低頻漸近線。；當(dāng)時(shí)，＝－90176。對(duì)數(shù)頻率特性如圖525所示。 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)極坐標(biāo)圖的繪制設(shè)已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 （564） 在式(564)中沒(méi)有二次因式表示，這并不影響以后的分析。圖528繪出0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)的幅相曲線低頻部分的一般形狀。變化到 －(n－m)90176。 利用上述特點(diǎn)就可較快地大致畫(huà)出幅相特性的圖形，如果局部需要更精細(xì)些，則可再確定若干個(gè)點(diǎn)來(lái)畫(huà)。 解： 經(jīng)分母有理化可得 （571） （572） 幅頻特性和相頻特性為 （573） （574） 這是Ⅰ型系統(tǒng)。 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面無(wú)零、極點(diǎn)，稱為最小相位系統(tǒng)。試寫(xiě)出該系統(tǒng)傳遞函數(shù)。奈氏判據(jù)不僅能判別閉環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，而且根據(jù)相對(duì)穩(wěn)定性的概念，它還可用于討論閉環(huán)系統(tǒng)的暫態(tài)性能及指出改善系統(tǒng)性能指標(biāo)的途徑，成為設(shè)計(jì)系統(tǒng)的依據(jù)。若 s 沿Γs 變化時(shí)，F(xiàn) (s)相角的變化為，則由方程(578)可得 (579)式中 ( i ＝ 1，2，… , n) 表示 s 沿Γs 變化時(shí)，向量相角的變化； ( j＝1，2，… ，n )的含義類似。