【正文】 對于Ⅰ型系統(tǒng)或Ⅱ型系統(tǒng)，當ω →０＋ 時，頻率特性曲線趨于無窮遠處，當ω →０－ 時,頻率特性曲線也趨于無窮遠處。 將半徑為無窮小的半圓上的點表示為 (583)將式(583)代入上面G K(s)中，對于Ⅰ型系統(tǒng)，則有 (584)它是半徑為無窮大的右半圓。圖中 a１，b１，c１，d１ 和 e１分別為奈氏路徑上 a ，b ，c，d 和 e 各點的象?！?∞時，當由變化到時，是＋π變化到－π，如圖539所示。也就是說，對于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)，s 平面上以原點為圓心以無窮小為半徑，位于該平面右半側(cè)的小半圓在G(s)平面上，映射軌跡將是按反時針方向從ω ＝0＋ 變化到ω ＝0－ 分別以無窮大為半徑的圓弧轉(zhuǎn)過π及2π弧度。 由奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的實際方法： 用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般只需繪制ω從0到＋∞時的開環(huán)幅相曲線，再加上正實軸后形成封閉曲線，然后按其包圍 (－1，j0)點圈數(shù) N (反時針方向包圍時為正，順時針方向包圍時為負)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半 s 平面上的極點數(shù) P ，再根據(jù)公式 (586) 確定閉環(huán)特征方程在右半 s 平面上的根的個數(shù)。 如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含 v 個積環(huán)節(jié)，則繪制開環(huán)幅相曲線后應(yīng)從ω＝0＋對應(yīng)的點開始，反時針方向補畫 v / 4個半徑無窮大的圓。 例55 設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖540所示，開環(huán)系統(tǒng)在右半 s 平面上沒有極點，試用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。由幅相曲線看到曲線沒有包圍 (－1，j 0)點，故 N ＝0。因此，閉環(huán)特征方程位于右半 s 平面上的根的個數(shù) Z ＝ P－ 2 N ＝0，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解：這是一個Ⅱ型系統(tǒng)，開環(huán)幅相曲線如圖542所示，圖中虛線是按 v ＝2從幅相曲線ω ＝0＋對應(yīng)的點反時針方向補畫的半徑趨于無窮的半圓。因此，閉環(huán)特征方程在右半 s 平面上的根的個數(shù) Z ＝P－2 N ＝2，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 在對數(shù)坐標圖上，加法運算是很容易實現(xiàn)的，如圖543所示。 實際繪出系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性時，可不必先繪出各環(huán)節(jié)的特性，而按以下步驟一次完成： 1. 確定 K 值、v 值和各個環(huán)節(jié)的交接頻率：， ，并將各交接頻率從小到大標注在頻率軸上。把→ 0時的對數(shù)幅頻特性稱為對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線。 3. 以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開始沿頻率增大的方向，每遇到一個交接頻率改變一次分段直線的斜率： 當遇到 ωi 時，斜率的變化量為 ＋20 dB/dec； 當遇到 ωk 時，斜率的變化量為 ＋40 dB/dec； 當遇到 ωj 時，斜率的變化量為 － 20 dB/dec； 當遇到 ωl 時，斜率的變化量為 －40 dB/dec。 利用典型環(huán)節(jié)修正的方法對分段直線進行修正，可得到準確的對數(shù)幅頻特性曲線。 分段直線的最后一段是開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的高頻漸近線。 對數(shù)相頻特性也可利用典型環(huán)節(jié)的各對數(shù)相頻特性相加而得，或直接利用相頻特性表達式進行計算，開環(huán)系統(tǒng)頻率特性以式(587)表示時，其相頻特性為（589）以及圖544 例57的對數(shù)頻率特性a) 對數(shù)幅頻特性b) 對數(shù)相頻特性 例57 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) ，試繪出系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性。 2. 低頻漸近線的斜率為 －20 vdB/dec＝0 dB/dec 當ω＝1時，L (ω) ＝ 20 logK＝20dB。 當ω ＝1時，斜率變?yōu)?－20dB/dec ； 當ω ＝10時，斜率變?yōu)椋?0dB/dec，對數(shù)幅頻特性如圖544 a所示。ω →0時，＝0176。對數(shù)相頻特性如圖544 b所示。圖545 例題58的對數(shù)頻率特性 解：將頻率特性表示為其中，為延遲環(huán)節(jié)的頻率特性， 為開環(huán)系統(tǒng)不包括延遲環(huán)節(jié)部分的頻率特性。 應(yīng)用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈氏判據(jù)本質(zhì)相同，只是前者按對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻曲線的相互關(guān)系來確定公式(586)中的N 而已。由圖546 a可知，幅相曲線包圍 (－1, j 0 )點的圈數(shù) N ＝0。如果把自上向下的穿越稱為正穿越，自實軸區(qū)間(－∞，－1)開始向下稱為半次正穿越，正穿越次數(shù)用 N＋表示，而把自下向上的穿越稱為負穿越，從實軸區(qū)間(－∞，－1)開始向上稱為半次負穿越，負穿越次數(shù)用 N－ 表示，則 N 可以由 N ＋和 N－ 之差確定，即 （589）在圖546 a上，正負穿越分別以 (＋)和(－)標出，今 N＋＝1，N－＝1，故N ＝0。線次數(shù)確定。線開始的正穿越為半次正穿越)；相角減少的穿越為負穿越 (從－180176。 圖546 b上，也用 (＋)和 (－) 標出了正、負穿越，同樣得 N ＋＝ N －＝1 ，因而N＝0。計算正負穿越數(shù)時，應(yīng)將補上的虛線看成對數(shù)相頻曲線的一部分。線的正負穿越數(shù)之差 N ＝ N＋－ N－ 確定，即Z ＝P －2 N Z ＝0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。 解：系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線如圖547所示。到－180176。顯見 N＋＝0，N－＝1。由于 Z ＝P －2 N ＝2，故系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán)特征方程在右半 s 平面的根數(shù)為2。非單位反饋系統(tǒng)可以看成是傳遞函數(shù)為的環(huán)節(jié)和開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)所組成。當環(huán)節(jié)和單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)Φ ′(s) 都是穩(wěn)定時，圖548 a 所示的非單位反饋閉環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。圖548 非單位反饋系統(tǒng)及等效框圖a) 非單位反饋系統(tǒng)框圖 b)非單位反饋系統(tǒng)等效框圖 多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析判別多回路系統(tǒng)穩(wěn)定性時，首先應(yīng)判別其局部反饋部分(即內(nèi)環(huán))的穩(wěn)定性。然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半 s 平面的極點數(shù)和整個控制系統(tǒng)其余開環(huán)部分在右半 s 平面的極點數(shù)判別整個控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。給定輸入作用下的系統(tǒng)和擾動輸入作用下的系統(tǒng)，均可應(yīng)用奈氏判據(jù)。開環(huán)部分的穩(wěn)定性容易判別，閉環(huán)部分的穩(wěn)定性則應(yīng)用奈氏判據(jù)進行判別。 根據(jù)奈氏判據(jù)，當開環(huán)幅相頻率特性曲線穿過(－1，j 0 )點時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定系統(tǒng)的幅相曲線越遠離(－1，j 0 )點，系統(tǒng)穩(wěn)定的程度越好。定義幅值裕度為幅相曲線上，相角為－180 176。即 （590） 式中ωg 稱為相角交界頻率，在ωg 處， (ωg )＝ －180 176。 定義相角裕度為180176。 它的含義是：如果系統(tǒng)在頻率ωc 處的相角遲后再增大度，則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。如圖550 a，b所示。例510 某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 求相角裕度和幅值裕度，并判閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 由曲線2和3可知，K ＝2時，相角裕度和幅值裕度分別是 因為 ＞0，Lg＞0，故對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 上面求相角裕度和幅值裕度20 log h 都是在圖形上查出來的，下面以此題為例介紹另一種求ωc 和相角裕度的方法?？梢圆捎媒铺幚淼霓k法求ωc 。則。當 K ＝2時。當時，當時， 從計算結(jié)果看，這種求法有一定的誤差，但此方法在要求不太高的情況下，還是很實用的?！?0176。這可以通過減小開環(huán)增益K 的辦法來達到。因此，有必要應(yīng)用校正技術(shù)，使系統(tǒng)兼顧穩(wěn)態(tài)誤差和過渡過程的要求。 24176。但此方法比較麻煩，在工程上常用等 M 圓和等 N 圓圖或尼柯爾斯圖線，直接由單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線繪制閉環(huán)頻率特性曲線。圓心為〔M 2 / (1－M2) ，j0〕，半徑為 ｜ M / (1－M 2 )｜。例如: M＝，則圓心為(－，j 0) ，圖553是一簇等M圓圖，由圖可見 M ＞1時，等 M 圓在 P ＝ －直線的左邊，隨著M 的增大，M 圓愈來愈小，最后收斂于(－1， j 0 ) ，當M＜1時，等 M 圓在 P ＝－直線的右邊，隨著M的減少，M圓愈來愈小，最后收斂于原點。無論 N 等于多少，P ＝ Q ＝0和 P ＝ －1，Q ＝0時，方程(595)總成立，故每個圓都過原點和(－1，j 0)點。圖上＝60176。,對應(yīng)同一等 N 圖，這是因為 tg 60 176。)的原因。 圖559的 a和 b是畫在等 M 圓圖和等N圓圖上的開環(huán)幅相曲線，c是求得的閉環(huán)頻率特性曲線。圖555 a上，M＝2的圓與幅相曲線相切，對應(yīng)頻率是ω4 ，因此ω ＝ω4 時，閉環(huán)頻率特性幅值達到極大值2，與開環(huán)幅相曲線相切，且有最小半徑的圓的M值，即為閉環(huán)幅頻特性的諧振峰值。58 系統(tǒng)的頻率法分析 、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和開環(huán)頻率特性的關(guān)系 在第三章中給出了由開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的公式，下面將討論頻率特性和穩(wěn)態(tài)誤差的關(guān)系。由開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線的低頻漸近線斜率就可確定 v 。對于0型系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻特性如圖556 a所示，v ＝0在低頻區(qū)，GK( jω)＝K ，即對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線是一條20logK分貝的水平線，由其縱坐標就確定了系統(tǒng)的開環(huán)增益K ，便可求穩(wěn)態(tài)誤差。 對于Ⅱ型系統(tǒng)，其對數(shù)幅頻特性曲線如圖 556 c ，v ＝2 ，低頻漸近線斜率為－40dB/dec，低頻漸近線與0分貝線的交點決定了。 帶寬越寬，重現(xiàn)輸入信號的能力越強，上升時間越短，但對于高頻干擾的過濾能力越差。 頻帶寬度為 根據(jù)第三章研究的結(jié)論可知，取5%誤差帶時，ts ＝3T，tr ＝，因此 可見，ωb不僅與上升時間 tr成反比，而且和調(diào)節(jié)時間 ts也成反比。由式 (5100)得 令A(yù) (ω)＝1，可求得截止頻率為 (5103) 當ω ＝ωc時，相角大小為 系統(tǒng)相角裕度為 (5104) 式(5103)和式(5104)表示了典型二階系統(tǒng)開環(huán)頻域性能指標 ，ωc 和 ，ωn 的關(guān)系。 令 (5108)可求得帶寬頻率 （5109） 式(5106)，式(5107)和式(5108)表示了典型二階系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的 M p ，ωp ，ωb 和 ，ωn 之間的關(guān)系。 1. 相角裕度 ，諧振和最大超調(diào)量%的關(guān)系 相角裕度 ，諧振峰值和最大超調(diào)量%有確定的關(guān)系，圖558繪出了，和的關(guān)系曲線。2. 頻帶寬度ωb和確定關(guān)系圖559 的關(guān)系曲線圖558 的關(guān)系曲線圖559繪出了和的關(guān)系曲線。ωc 和 ts 也有一定關(guān)系，一般說來，ωc 愈大，ωb 愈大，ts 愈小，諧振頻率ωp和阻尼振蕩頻率ωd 的關(guān)系為圖560 的關(guān)系曲線 當 0＜ ＜ 時，ωp 愈大，ωd 也愈大，如圖560。高階系統(tǒng)頻域指標和時域性能指標沒有確定的關(guān)系式，只能憑經(jīng)驗進行估算，在這里不作介紹了。例59 設(shè)單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，試求時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。圖561 例題512的幅相曲線平面 解： 實頻特性 虛頻特性 幅頻特性 相頻特性 當ω＝ 0時，P(0)＝－ K ，Q(0)＝ 0，起始于(－K ，0 )點；ω ＝ ∞ 時，P ( ∞ )＝0 ，Q ( ∞ )＝0 ，A (∞) ＝0， ＝－90 176。 當ω 由 0～∞ 時 ，P (ω)＜0 ，Q (ω)＜0，亦即在－180 176。之間，故幅相曲線在第三象限，開環(huán)幅相曲線如圖561所示。 當ω 從－∞變化到＋∞，奈氏曲線反時針包圍 (－1，j 0 )點的圈數(shù) R 與 K 有關(guān)。例513 已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試用奈氏判據(jù)分析當 時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ① 當 時，ω由0～＋∞時在Ⅲ象限內(nèi)由 —180176。其幅相曲線如圖562 a所示，這是Ⅱ型系統(tǒng)，需要從ω ＝0＋ 對應(yīng)的點到ω ＝0－對應(yīng)的點，反時針補畫半徑 ∞ 的圓，如圖中虛線部分。 ② 當 時，,＝ －180 176。由于幅相曲線恰好過(－1，j 0）點，這說明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。變到－180 176。從圖中可知R ＝－2 ，又因為 P ＝ 0 ，故 Z ＝ P — R ＝0－ 2(－1)＝2，所以當時，該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 解：1. K ＝10－３，v ＝2，各個環(huán)節(jié)的交接頻率。 當ω＝1時，低頻漸近線的坐標，L (1)＝20 log＝－60 dB，即低頻漸近線過點(1，－60)。當ω ＝ω2 ＝，在此頻率上作斜率為－20dB/dec 的直線。當ω＝ω4＝20時，在此頻率上作斜率為－60dB/dec 的直線。斜率單位 d