【正文】 上述 6種窗函數(shù)外，比較有名的還有 Chebyshev窗、Gaussian窗 ［ 5, 6］ 。 N=20 ?改變 N只能改變過(guò)渡帶寬窄，不能改變阻帶的衰減性； ?阻帶的衰減性由窗函數(shù)類(lèi)型決定，矩形窗最差，布萊克曼窗最好 。 凱塞窗的幅度函數(shù)為： （ ） ss0 . 4s s ss0 . 1 1 2 ( 8 . 7) , 5 0 d B0 . 5 8 4 2 ( 2 1 ) 0 . 0 7 8 8 6 ( 2 1 ) , 2 1 5 0 d B0 , 2 1??? ? ? ??????? ? ? ? ? ??? ??（ ） st8 B? ??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ( 1 ) / 2k g k k1( ) ( 0 ) 2 ( ) c o sNnW w w n n?????? ?對(duì) ?的 8種典型值，將凱塞窗函數(shù)的性能列于表 ，供設(shè)計(jì)者參考。 ?=，窗函數(shù)接近布萊克曼窗。 21121 ?????? ????Nn??10)( )()(00k ???? NnIIn ，??? （ ） 其中： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) I0(β)是零階第一類(lèi)修正貝塞爾函數(shù)，可用下面級(jí)數(shù)計(jì)算： 一般 I0(β)取 15~25項(xiàng)，便可以滿(mǎn)足精度要求。 布萊克曼窗的四種波形如圖 . ?????????????????????????????????????????????????1π41π4 1π21π2)()(RgRgRgRgRgB l gNWNWNWNWWW??????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 布萊克曼窗的四種波形 參數(shù)為 : ?n=－ 57 dB。 哈明窗的四種波形如圖 . 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 哈明窗的四種波形 參數(shù)為 : ? n=－ 41 dB。 漢寧窗的四種波形如圖 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 圖 漢寧窗的四種波形 參數(shù)為 : ?n=－ 31 dB。 Rgs i n ( / 2 )()s i n ( / 2 )NW ????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 矩形窗的四種波形如圖 . 圖 矩形窗的四種波形 旁瓣峰值： ? n=－ 13 dB； 過(guò)渡帶寬度：Bg=4π/N。構(gòu)造新的窗函數(shù)形狀，使其譜函數(shù)的主瓣包含更多的能量，相應(yīng)旁瓣幅度更小。 三種不同長(zhǎng)度的矩形窗函數(shù)的幅度特性 WRg(ω)及其設(shè)計(jì)的FIR濾波器的幅度特性 Hg(ω)曲線(xiàn)如圖 Rgs in ( / 2 ) s in()/2NxWNx?????減少吉布斯效應(yīng)的影響： 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 表明： 當(dāng) N加大時(shí)， Hg(ω)的波動(dòng)幅度沒(méi)有多大改善，只能使 Hg(ω)過(guò)渡帶變窄（過(guò)渡帶近似為主瓣寬度 4π/N）。通帶內(nèi)的波紋影響濾波器通帶的平穩(wěn)性，阻帶內(nèi)的波紋影響阻帶內(nèi)的衰減，可能使最小衰減不滿(mǎn)足技術(shù)指標(biāo)要求。阻帶內(nèi)產(chǎn)生了余振，最大的負(fù)峰在 ωc+2π/N處。 Nc /2 ?????第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) （ 5）當(dāng) 時(shí)，隨 增加，左邊旁瓣的起伏部分掃過(guò)通帶，卷積也隨著 在通帶內(nèi)的旁瓣的面積變化而變化，故 將圍繞著零值而波動(dòng)。 ???????nnnhH ?? jdjd e)()e(傅氏級(jí)數(shù)法： 顯然，選取傅氏級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)愈多，引起的誤差就愈小，但項(xiàng)數(shù)增多即 h(n)長(zhǎng)度增加，也使成本和濾波計(jì)算量加大，應(yīng)在滿(mǎn)足技術(shù)要求的條件下，盡量減小 h(n)的長(zhǎng)度。 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 實(shí)際的濾波器單位取樣響應(yīng)為 h(n),長(zhǎng)度為 N， 其系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)， 圖 理想低通的單位脈沖響應(yīng)及矩形窗 10( ) ( )NnnH z h n z???? ?第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 吉布斯（ Gibbs）效應(yīng)： 用一個(gè)有限長(zhǎng)的序列 h(n)去代替 hd(n)，肯定會(huì)引起誤差，表現(xiàn)在頻域就是引起過(guò)渡帶加寬以及通帶和阻帶內(nèi)的波動(dòng)，尤其使阻帶的衰減小，從而滿(mǎn)足不了技術(shù)上的要求。所以，當(dāng) ω=0, 2π時(shí)， sin［ ω(n－ τ)］ =0；當(dāng) ω=π時(shí)， sin［ ω(n－ τ)］ =(－ 1)n－N/2, 為峰值點(diǎn)。 當(dāng) N確定時(shí)， FIR數(shù)字濾波器的相位特性是一個(gè)確知的線(xiàn)性函數(shù)，即 θ(ω)=－ ω(N－ 1)/2。第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 線(xiàn)性相位 FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 利用窗函數(shù)法設(shè)計(jì) FIR濾波器 利用頻率采樣法設(shè)計(jì) FIR濾波器 利用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì) FIR濾波器 IIR和 FIR數(shù)字濾波器的比較 線(xiàn)性相位 FIR數(shù)字濾波器的條件和特點(diǎn) 對(duì)于長(zhǎng)度為 N的 h(n)， 傳輸函數(shù)為 10()( ) ( )( ) ( )Nj j nnjjgH e h n eH e H e??? ? ????????? () () 式中 ， Hg(ω)稱(chēng)為 幅度特性 ， θ(ω)稱(chēng)為 相位特性 。因?yàn)?sinω(n－ τ)關(guān)于 n=τ奇對(duì)稱(chēng)，如果取 τ=(N－ 1)/2，則要求 h(n)關(guān)于 (N－ 1)/2偶對(duì)稱(chēng)，所以要求 τ和 h(n)滿(mǎn)足如下條件 : 10( ) s in [ ( ) ] 0Nnh n n??????? （ ） （ ） 1( ) , 2( ) ( 1 ), 0 ≤ ≤ 1Nh n h N n n N? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ??第一類(lèi)線(xiàn)性相位特性： h(n)應(yīng)當(dāng)關(guān)于 n=(N－ 1)/2點(diǎn)偶對(duì)稱(chēng)。 h(N－ n－ 1) 為了推導(dǎo)方便，引入兩個(gè)參數(shù)符號(hào)： 情況 1： h(n)=h(N－ n－ 1), N為奇數(shù) 將時(shí)域約束條件 h(n)=h(N－ n－ 1)和 θ(ω)=－ ωτ代入式（ ）和（ ），得到 : 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) n10)()( ????? ?? jNnj enheHn12/12/)1(n2/30)()2 1()()( ??????????? ?? ???? jNNnNjjNnj enheNhenheH －）（）－（m)/3m/)(n/3 m()()()( ?????????? ?????? 120212012 1 NjNNjjNnj eNheNhenheH （）－（）－（ ） ????n1m ??N＝令??????? ??? ))(c o s ()()()(/?????? －＋）－（nnhheeH3Nnjj202])[()()( )n()n(/3/)( 2121202121 ?????? ???? ??? ? NjNjNnNjj eenhNheeH ????）－（1 ,2N? ??第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ★★ 呈偶對(duì)稱(chēng)對(duì) ,2,0)(g ???? ?H)nc o s ()n()()(ng ??? －＋ ????102MhhH第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )(?gH 仿照情況 1的推導(dǎo)方法得到 : 1j j j jg00( e ) ( ) e = ( ) e e 2 ( ) c os( ( ) )NMnnnH H h n h n n? ?? ? ??? ? ??? ? ???? ? ???（ ） g0( ) 2 ( ) c o s [ ( ) ]MnH h n n? ? ?????式中： ( 1 ) / 2 / 2 1 / 2NN? ? ? ? ?? ??c os[ ( ) ] c os sin 022NNn n n?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 情況 2： h(n)=h(N－ n－ 1), N為偶數(shù) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ★★ 呈奇對(duì)稱(chēng)呈偶對(duì)稱(chēng)對(duì),)(g??????? 20H★ 不適合高通，帶阻濾波器 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) )(?gHn10)()( ????? ?? jNnj enheH])()([)( 1 )n(n ???????? ? NjjMnj enNhenheH ??? 10])()([)( 1 )n(n ?????? ? NjjMnj enhenheH ???0? ])[()( )n()n(/)( 2 12 11021??????? ?? ?NjNjMnNjj eenheeH ????1 ,2N? ?? 情況 3： h(n)=－ h(N－ n－ 1)， N為奇數(shù) )]n(i n [)n(j)(n????? －sheeH Mjj ? ????? 102)]n([in)n()(n2 ?????? －）＋（ sheeH Mjj ? ???? 102第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) ★★ 呈奇對(duì)稱(chēng)對(duì) ,)(g ???? 20?H★ 不適合低通、高通，帶阻濾波器 )]n([in)n()(ng ??? －shHM? ???102第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 用情況 3的推導(dǎo)過(guò)程可以得到 : g0( ) 2 ( ) s in [ ( ) ]MnH h n n? ? ????? 情況 4： h(n)=－ h(N－ n－ 1)， N為偶數(shù) 式中， N是偶數(shù)， τ=(N－ 1)/2=N/2－ 1/2。 h(N－ 1－ n)代入上式 , 得到 : 的零點(diǎn)是若 )Z(HZZ i? ）的零點(diǎn)（一定是 ZHZZ 1i ??的零點(diǎn)是）實(shí)序列： )Z(HZZ i??h ( n ）的零點(diǎn)（一定是）（ ZHZZ 1i ???線(xiàn)性相位 FIR濾波器零點(diǎn)：互為倒數(shù)的共軛對(duì)，確定其中一個(gè)，另外三個(gè)零點(diǎn)也就確定了 . 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 例如： FIR線(xiàn)性相位濾波器的 h(n)是實(shí)數(shù)且 n0和 n6時(shí)， h(n)＝ 0，如果 h(0)＝ 1且系統(tǒng)函數(shù)在 z=3和各 有一個(gè)零點(diǎn)，求 H(Z) ??必有一個(gè)則在有一個(gè)復(fù)零點(diǎn)，在－ 335050??jjezezH..z)(??))(()z(H)z(H)z(H13j13j11???? ??? －：必含有因子 解： ： ]z)(1][z)(1[)z(H)z(H113j113j ?????? ??? －：兩個(gè)零點(diǎn)倒數(shù)包含因子22)311)(31)(421)(( 112121 ?????? ??????? zzzzzzA)z31)(z1()z(H)z(H3z11 ?? ????1333 ：及其倒數(shù)包含因子整理多項(xiàng)式： 由 h(0)＝ 1 得： A=1 )z(H)z(H)z(AH)z(H 1 32?則系統(tǒng)函數(shù)第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 第 7章 有限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 4. 線(xiàn)性相位 FIR濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) 設(shè) N為偶數(shù) ， 則有 111 2002( ) ( ) ( ) ( )???? ? ??? ?? ? ?? ? ?NNNn n nNnmnH z h n z h n z h n z令 m=Nn1,則有 1122( 1 )00(