【正文】 ??zzzzzzsHZHzzTsa? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?231112312111121131311131313111113131311212113131312111312122122211111141111111211111211211??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz 圖 1 三階 Butterworth 數(shù)字濾波器的頻響 脈沖響應(yīng)不變法 雙線性變換法 fs/2 我們也可以用 MA T L A B 完成設(shè)計(jì)，在 MA T L A B 中相關(guān)的語(yǔ)句有b u t t e r （ 巴特沃茲濾波器）、 i m p i n v a r （ 脈沖響應(yīng)不變法 ）、b i l i n e a r （ 雙線性變換），具體的程序如下：[B , A ] = b u t t e r ( 3 , 2 * p i * 1 0 0 0 , 39。為此，實(shí)際應(yīng)用脈沖響應(yīng)不變法時(shí)稍作一點(diǎn)修改，即求出 H（ Z）后，再乘以因子 T,使 H（ Z）只與 有關(guān)，即只與 fc和 fs的相對(duì)值 有關(guān)，而與采樣頻率 fs無(wú)直接關(guān)系。 解： a. 脈沖響應(yīng)不變法 由于脈沖響不變法的頻率關(guān)系是線性的 ， 所以可直接按 Ωc =2πfc設(shè)計(jì) Ha(s)。 2） 由變換關(guān)系將 {ωk}映射到模擬域 ， 得出模擬濾波器的臨界頻率值 {Ωk}。 ３ )計(jì)算 H(Z) 雙線性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單 。1|| ??? zz 時(shí)?時(shí) 小結(jié) 1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線性變換的主要優(yōu)點(diǎn)： S平 面與 Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴(yán)重 非線性關(guān)系得到的），即整個(gè) jΩ軸單值的對(duì)應(yīng)于單位 圓一周，關(guān)系式為： ????????22 ?tgT可見(jiàn)， ω和 Ω為非線性關(guān)系，如圖所示。 實(shí)現(xiàn)方法： 通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面 ， 將 Ω 1映射到 Z平面的單位圓上 Tsez 1?通常取 C=2/T, TsTseecTscs1111)2(th 1 ??????????????????zzTsTsez 1?再將 S1 平面通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到 Z平面，即令 將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè) S平面，則得到 S平面到 S1 最后得 S平面與 Z 雙線性換法的主要優(yōu)點(diǎn)是 S平面與 Z平面一一單值對(duì)應(yīng) ，S平面的虛軸 (整個(gè) jΩ)對(duì)應(yīng)于 Z平面 單位圓的一周 ， S平面的Ω=0處對(duì)應(yīng)于 Z平面的 ω=0處 ， 對(duì)應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折疊頻率處 ， 所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng) 。 例如線性相位的貝塞爾低通濾波器，通過(guò)脈沖響應(yīng)不變法 2)在某些場(chǎng)合，要求數(shù)字濾波器在時(shí)域上能模仿模擬濾波器的功能時(shí)，如要實(shí)現(xiàn)時(shí)域沖激響應(yīng)的模仿，一般使用脈沖響應(yīng) TjHeHaj /)()( ?? ???? 3)如果 Ha(s)是穩(wěn)定的 ， 即其極點(diǎn)在 S左半平面 ， 映射后得到的 H(Z)也是穩(wěn)定的 。我們只要知道濾波器的階數(shù)，就可直接查出低通原型的系統(tǒng)函數(shù)。模擬濾波器頻響 在折疊頻率以上衰減越大，失真則越小， 這時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾 波器才能得到良好的效果。 STez? 如果模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是穩(wěn)定的，其極點(diǎn)應(yīng)位于左半平面 11 1)( ?? ?? ?zeAzHTskNkk0][ ?ke sR 對(duì)應(yīng) Z平面的極點(diǎn)有 1?? Tsk kez 位于單位園內(nèi)。 1．脈沖響應(yīng)不變法 原理： 從時(shí)域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng) h(t)的抽樣值。由指定的技術(shù)指標(biāo) 利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，最關(guān)鍵的 2個(gè)參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù) N和 3dB 截止頻率 。 模擬濾波器設(shè)計(jì) IIR濾波器的設(shè)計(jì)是基于模擬濾波器的成熟技術(shù)而完成的 簡(jiǎn)單介紹模擬濾波器設(shè)計(jì)的一些基本概念，并介紹兩種常用的濾波器的設(shè)計(jì)方法 ： ? 巴特沃思 (Butterworth)濾波器 ? 切比雪夫 (Chebyshev)濾波器 6． 2． 1模擬濾波器設(shè)計(jì)的基本概念 1 . 模擬濾波器的頻率特性與衰減特性 濾波器的頻率特性主要取決于構(gòu)成濾波器系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) ???? jssHjH |)()( 工程設(shè)計(jì)中給定的指標(biāo)往往是通帶和阻帶的衰減 ， 它一般用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或稱模方函數(shù)來(lái)定義 dBjHjHA |)(|lg20|)(|lg10)( 2 ??????? 當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性 （ 延時(shí) τ 為常數(shù) ） 時(shí)濾波器的頻率特性為 H j H j e j( ) | ( )| ( )? ? ?? ? ???? ?? )(，2. 歸一化與頻率變換 采用歸一化參數(shù) ? 設(shè)計(jì)結(jié)果具有普遍性 ? 計(jì)算方便 歸一化包含： ? 電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無(wú)源元件的阻抗或運(yùn)算阻抗分別除以基準(zhǔn)電阻 (系統(tǒng)的負(fù)載電阻值 )。 3．設(shè)計(jì) IIR濾波器的幾種方法 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為的有理分式 11101)(????????zazbzHkNkkNk? 設(shè)計(jì) IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定 H(z)的階數(shù) N（通常稱 N為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項(xiàng)式的系數(shù) ?? jezjkk zHeHba ?? )()(，使其、 滿足指定的頻率特性 (1)利用模擬濾波器的理論來(lái)設(shè)計(jì) 模擬濾波器研究較早，理論已經(jīng)十分成熟，有許多簡(jiǎn)單而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)脑O(shè)計(jì)公式和大量的圖表可以利用，利用這些現(xiàn)有技術(shù)來(lái)解決數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題 采用這種方法時(shí)，要先要設(shè)計(jì)一個(gè)合適的模擬濾波器，然后將它轉(zhuǎn)換成滿足給定指標(biāo)的數(shù)字濾波器 這種方法適合于設(shè)計(jì)幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等 當(dāng)把模擬濾波器的 H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的 H(z) 時(shí)，要實(shí)現(xiàn) S平面向 Z平面的映射，必須滿足兩個(gè)條件 必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致 ? 要求變換后代表 S平面的虛軸 jΩ應(yīng)映射到 Z平面的單位圓 ? 且數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器頻率響應(yīng)的形狀應(yīng)基本保持不變； 因果穩(wěn)定的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器傳輸函數(shù) H(z)后，仍然是因果穩(wěn)定的 ? 要求 S平面左半平面的極點(diǎn)必須映射到 Z平面的單位圓內(nèi) 兩種常用的方法 ? 脈沖響應(yīng)不變法：從時(shí)域的角度出發(fā)進(jìn)行映射 ? 雙線性不變法：從頻域角度出發(fā)進(jìn)行映射 (2)利用最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行 CAD設(shè)計(jì) 若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復(fù)雜，可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) (CAD)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)思想 )( ?jd eH 希望濾波器的幅頻響應(yīng) ： )( ?jeH 設(shè)計(jì) 濾波器的幅頻響應(yīng) ： ? 選擇一種最優(yōu)化的準(zhǔn)則，例如采用最小均方誤差準(zhǔn)則 )()( ?? jjd eHeH 、設(shè)在指定的一組離散的頻率點(diǎn) Mii ,2,1},{ ???的均方誤差 221[ ( ) ( ) ]iiM jjdiH e H e???????? 求解 H(z)的系數(shù) ，、 kk ba 使 均方誤差 最小 ? 當(dāng) 濾波器階數(shù) N 較高時(shí)， 轉(zhuǎn)換為 一個(gè)多變量最優(yōu)化問(wèn)題，需要大量的迭代運(yùn)算，因此必須采用 CAD的方法。 若給定的指標(biāo) =3dB, 即通帶邊頻 時(shí) , ε =1,可求得 cp ???pA(b)從模方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù) H(s) ①求得極點(diǎn) ,2,1)/(1 1|)(| 22 ??????? NjjjH Nc帶入上式，得：?? js0)(1 2 ??? Ncjs?)12()1( ??? kje由于Nkes NNkjck 2,2,12/)12( ???? ?? ?分析討論 ?c在歸一化頻率的情況 =1， 極點(diǎn)均勻分布在單位圓上 Nkes NNkjk 2,2,12/)12( ??? ?? ?對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng) ,它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在 s的左半平面上 ②系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù) )(1)(1iNissAsH????對(duì)于低通濾波器 ， 為了保證在頻率零點(diǎn) =0處 ， =1， 可取 ?|)(| ?jH????NiiN sA1)1()()1()(1 iiNiNssssH??? ??因此得 例 621舉例說(shuō)明系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 設(shè)計(jì)一巴特沃思濾波器 ， 使其滿足以下指標(biāo) : 通帶邊頻 =100k rad/s, 通帶的最大衰減為 =3dB， 阻帶邊頻為 =400k rad/s,阻帶的最小衰減為 =35 dB p?Ap s?As解 :由于通帶邊頻就是 3dB 截止頻率，即 cp ???1110 ??? pA? ??? sA?確定階次 N ， )/l g ( )/l g ( ?????csN ?? 3?N取求左半平面的極點(diǎn) : s e kk c j k N N? ?? ?? ( ) / , ,2 1 2 1 2 3?,3/21 ?jc es ?? ,2 ?jc es ?? s ec j3 2 3? ?? ? /得極點(diǎn)： 構(gòu)成巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) H(s)為 H s s s ss s s s s s s s scc c c( ) ( )( )( )? ?? ? ? ? ? ? ?1 2 31 2 333 2 2 32 2?? ? ?相對(duì)截止頻率 歸一化，得歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) ?c H sa ( )H s s s sa ( ) ? ? ? ?12 2 13 2③一般 N階歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù) 表示 H ss s a s a s a s saiNiNN N( )( )???? ? ? ? ?????1 1111 2211?是 =1時(shí)的極點(diǎn)，分布在單位圓上 si ?c分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過(guò)查表求得 ,見(jiàn)表 521 表 621 巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù) N a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 2 3 4 5 6 7 8 9 10 表 622 巴特沃思多項(xiàng)式因式分解 N 巴 特 沃 思 多 項(xiàng) 式 1 s+1 2 s2++1 3 (s+1)(s2+s+1) 4 (s2++1)(s2++1) 5 (s+1)(s2++1)(s2++1) 6 (s2++1)(s2 ++1)(s2 ++1) 7 (s+1)(s2++1)(s2++1)(s2++1) 8 (s2++1)(s2++1)(s2++1)(s2++1) 9 (s+1)(s2++1)(s2+s+1)(s2++1)(s2++1) 上述歸一化公式和表格是相對(duì) 3dB 截止頻率 給出的。 2） Ha(s) 的因果穩(wěn)定性映射成 H（ z）后保持不變，即 S平面的左半平面 Re{S}＜ 0 應(yīng)映射到 Z平面的單位圓以內(nèi) |Z|1。 ?? ?? ???????????????????????????nn s TnststnenThdtenTtthdtenTtthsH)()()(])()