維隨機變量邊緣密度(編輯修改稿)
2025-06-18 03:40 本頁面
【文章內容簡介】 21??jyyy21?? 12111 ippp?? 22212 ippp????? ijjj ppp 21???例 1 已知 (X,Y)的分布律，求其邊緣分布律 . XY 1049164912491249910XY 104916491249910}{ ii xXPp ???}{ jj yYPp ???注意 聯(lián)合分布 邊緣分布 解 ? ???7473174 734912.),(,d),()(,d]d),([),()(),(),(的邊緣概率密度關于稱其為隨機變量記由于密度為的概率設連續(xù)型隨機變量XYXyyxpxpxyyxpxFxFyxpYXXxX?? ?????????????定義三、連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 ,d]d),([),()( ? ??? ? ????? yY yxyxpyFyF同理可得 Y 的邊緣分布函數(shù) .xd)y,x(p)y(p Y ? ? ???Y 的邊緣概率密度 . ).(),(.,),(ypxpxyxyxpYXYX求邊緣概率密度其它具有聯(lián)合概率密度和設隨機變量??? ???062解 ,10 時當 ?? xxy ?2xy ?O xy )1,1(yyxpxp X d),()( ? ?????? xx y2 d6例 2 ,10 時或當 ?? xx.d),()( 0?? ? ??? yyxpxp X).(6 2xx ????? ????.,),()(其它因而得0106 2 xxxxpXxy ?2xy ?O xy )1,1(,10 時當 ?? yxyxpyp Y d),()( ? ????,10 時或當 ?? yy .d),()( 0?? ? ??? xyxPyP Y????? ????.,),()(其它得0106 yyyyPY? ??? yy yyx )(6d6).(6 yy ??xy ?2xy ?O xy )1,1(例 3 設 (X,Y)服從如圖區(qū)域 D上的均勻分布， 求關于 X和關于 Y的邊緣概率密度 . x=y x=y ??????????????? ???o t h e r sxdyxdyxfxxX01001)(11???????? ??o t h e r sydxyfyyY010)(的概率密度為設二維隨機變量 ),( YX???????????? ???????????22222121212122212121121σμyσσμyμxρσμxρρσσyxp)())(()()(e x p),(?.的邊緣概率密度試求二維正態(tài)隨機變量, ?????????? yx.11,0,0,, 212121?????ρσσρσσμμ 且都是常數(shù)其中例 4 解 ,d),()( yyxpxp X ? ????由于 21212222 ))((2)(σσμyμxρσμy ????,)( 2121221122σμxρσμxρσμy ???????? ????于是 ,π21)(211222121)1(212)(2121dyeeρσσxp σμxρσμyρσμxX ?????????? ?????????,1 111222 ?????? ????? σμxρσμyρt令則有 ,d)()(teeσxptσμxX ???????? 2212212121?.,)()(????????xeσxp σμxX212121π21即 同理可得 二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布 , .ρ并且都不依賴于參數(shù).,21)(22222)(2????????yeσyp σμyY ?請同學們思考 邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量 ,其聯(lián)合分 布一定是二維正態(tài)分布嗎 ? 不一定 . 舉一反例以示證明 . 答 ),s i ns i n1(π21),(),()2(22yxeyxpYXyx????的聯(lián)合密度函數(shù)為令.21)(,21)(,),(,2222 yYxX eypexpYX??????但是不服從正態(tài)分布顯然因此邊緣分布均為正態(tài)分布的隨機變量 ,其聯(lián)合分布不一定是二維正態(tài)分布 . 一、定義 相互獨立的隨機變量 二、小結 兩事件 A,B獨立的定義是： 若 P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件 A,B獨立 . 設 X,Y是兩個隨機變量，若對任意的 x,y,有 )()(),( yYPxXPyYxXP ????? 則稱 X,Y相互 獨立 . 定義 )()(),( yFxFyxF YX?用分布函數(shù)表示 ,即 設 X,Y是兩個隨機變量，若對任意的 x,y,有 則稱 X,Y相互 獨立 . 它表明，兩個隨機變量 相互 獨立時，它們的聯(lián)合 分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 . ),( yxp其中 是 X,Y的聯(lián)合密度， )()(),( ypxpyxp YX?成立，則稱 X,Y相互 獨立 . 若對任意的 x, y, 有 若 (X,Y)是連續(xù)型隨機變量 ,則上述獨立
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