【正文】 55m in xxexf x ?? ，于是 N的數(shù)學(xué)期望為 , ? ? 5)( 0 55m in ??? ??? ?? ?? ????? dxexdxxxfNE x。 離散型 —— 若 則 ()EX ＝1 kkk xp??? （絕對(duì)收斂） e2 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 連續(xù)型 —— 若 X ～ 密度函數(shù) ，則 ()EX ＝ ()xf x dx???? （絕對(duì)收斂） 例 1 甲、乙兩個(gè)工人，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，在相同條件下，生產(chǎn) 100 件產(chǎn)品所出的廢品數(shù)分別用 X、Y 表示，它們的概率分布如下： X 0 1 2 3 KP Y 0 1 2 3 KP 0 問這兩個(gè)工人誰 的技術(shù)好 ? 解 : ()EX ＝ 0 1 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ?, ()EY ＝ 0 0. 5 1 0. 3 2 0. 2 3 0 0. 7? ? ? ? ? ? ? ? 甲工人生產(chǎn)出廢品的均值較小，甲的技術(shù)好。 :設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 ()fx，若積分 ()xf x dx????絕對(duì)收斂，則稱積分 ()xf x dx????的值為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望，記為 ()EX 。 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 教學(xué)過程： (一 ) 數(shù)學(xué)期望的概念 先看一個(gè)例子 :一射手進(jìn)行打靶練習(xí) ,規(guī)定射入 區(qū)域 2e 得 2 分 , 射入?yún)^(qū)域 1e 得 1分 ,脫靶即射入 區(qū)域 0e 得 0 分 .設(shè)射手一次射擊的得分?jǐn)?shù) X是一個(gè) e1 e0 隨機(jī)變量，而且 X的分布律為 P{X=k}= kp ,k=0,1,2 現(xiàn)射擊 N次，其中得 0分 0a 次，得 1分 1a 次，得 2分 2a 次， 0a +1a + 2a = N次得分的總和為 0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射擊的得分?jǐn)?shù)為 ???????? 2 0210 210 k kNakN aaa ，因?yàn)楫?dāng) N充分大時(shí) , 頻率 kp概率穩(wěn)定值 ?? ??Na k 。 描述變量的平均值的量 —— 數(shù)學(xué)期望， 描述變量的離散程度的量 —— 方差。 【 本章重點(diǎn) 】 數(shù)學(xué)期望與方差的概念、性質(zhì)與計(jì)算方法；求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的方法；二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差。 【 本章難點(diǎn) 】 數(shù)學(xué)期望與方差的概念計(jì)算方法；隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法；協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法 【 學(xué)時(shí) 分配】 79學(xué)時(shí) 分布函數(shù) : )()( xXPxF ?? —— 全面描述隨機(jī)變量 X取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 167。 所以當(dāng) N充分大時(shí) , 平均數(shù) ???? ??20k kk pxx穩(wěn)定值 。即 ()EX ＝ ()xf x dx????。 例 2 有 5個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命 Xk(k=1,2， 3， 4， 5)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為 ? ????????? ?.0,0,0,1xxexf x ?? ， 0?? ， (1)若將這 5個(gè)電子裝置 串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命（以小時(shí)記） N的數(shù)學(xué)期望。 (2) 因?yàn)?5個(gè)電子裝置并聯(lián)，所以整機(jī)壽命 ? ?54321 ,m a x XXXXXM ? 的分布函數(shù)為? ? ? ?? ? ? ?????? ? ???? ? .0,0 ,0,1 55m a x x xexFxF x ?，因而 N 的概率密度為 ? ? ? ?????????? ??.0,0,0,1 45m a x xxeexf xx ???，于是 N 的數(shù)學(xué)期望為 ? ? ? ? ???? 601371)( 0 45m a x ???? ?? ?? ?????? dxeexdxxxfNE xx。 分析 ： 第一 車 8:30 到站 10 分鐘 ,第一 車 8:50 到站 30分鐘 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 解 設(shè)旅客候車的時(shí)間為 X(以分記 )，則 X 的的可取值為 50、 70、 90. 且 P{X=10}=P“第一班車 8： 30 到站” =63. P{X=30}= P“ 第一班車 8： 50到站” =62. P{X=50}= P“第一班車 8： 10到站，且第二班車 9： 10 到站” = 3616161 ?? P{X=70}= P“第一班車 8： 10 到站，且第二班車 9： 30 到站” = 3636361 ?? P{X=90}= P“第一班車 8： 10 到站，且第二班車 9： 50 到站” = 3626261 ?? 即 X的分布列為 X 10 30 50 70 90 Pk X的數(shù)學(xué)期望為 所以若旅客 8:20 到站，則他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為 (分 )。若顯陽性，則再將對(duì)這 k 個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)，這樣，這 k個(gè)人的血總共要化驗(yàn) k+1 次 ,假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)顯陽性的概率為 p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的。顯然， p愈小這種方法愈有利。這時(shí)，可以通過下面的定理來求 W的數(shù)學(xué)期望。 5 中的（ ）式知道隨機(jī)變量 Y=g(X)的概率密度為 ??? ??? . ,0 ),(39。)]([ dxxfxgdxxfxgdyyhyhyf x?? 綜合上兩式，（ ）得證。 解 ： ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????? ????1010 31,XYE dx dyyxxydx dyyxx y f 例 7 按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)商品，每售出一公斤獲利潤(rùn) b元。 2 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量， C 是常數(shù)，則有 ( ) ( )E CX CE X? 3 設(shè) X 、 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ? 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況。如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車，以 X表示停車的次數(shù)，求 E（ X）（設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）。 （五） 一些常用分布的數(shù)學(xué)期望 計(jì)算可得一些常用分布的數(shù)學(xué)期望 1． 0— 1 分布 X 0 1 kP 1－ p p ( ) 0 (1 ) 1E X p p p? ? ? ? ? ? 2． 二項(xiàng)分布 ( , ) ( )X b n p E X np?則 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 3． 泊松分布 ~ ( )X ?? ，則 ()EX?? 計(jì)算： 10 1 1() ! ( 1 ) ! ( 1 ) !K K KK K KE X K e e e e eK K K? ? ? ? ?? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ?＝ 4． 均勻分布 X～ U[ ,ab]，則 ()2abEX ?? 5． 指數(shù)分布 X服從參數(shù)為 ? 的指數(shù)分布，則 ()EX?? 。 布置作業(yè) P138 3， 10 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 167。隨機(jī)變量的方差概念及性質(zhì)、具體分布的方差的計(jì)算。例如，某廠生產(chǎn)兩類手表，甲類手表日走時(shí)誤差均勻分布在 10~10 秒之間；乙類手表日走時(shí)誤差均勻分布在 20~20 秒之間，易知其數(shù)學(xué)期望均為 0，即兩類手表的日走時(shí)誤差平均來說都是 0。即 ()DX ? ()Var X ? ? ?2[ ( )]E X E X? 。 2 2 22222( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ]1 [ ( ) ] 1XD X E X E X EEX??????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?） 稱 X? 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化變量。 解 :E（ X） =0 p=p D（ X） =E（ X2） [E（ X） ]2=pp2=p(1p) 例 3 設(shè) X~π (λ )，求 D（ X）。 20 設(shè) X 是隨機(jī)變量， C是常數(shù)，則有： D（ CX） =C2D（ X）