【正文】 ? ?5,4,3,2,1?k 的分布函數(shù)為 ? ??????? ????.0,0 ,0,1 x xexFx?。 例 2 有 5個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命 Xk(k=1,2， 3， 4， 5)服從同一指數(shù)分布，其概率密度為 ? ????????? ?.0,0,0,1xxexf x ?? ， 0?? ， (1)若將這 5個電子裝置 串聯(lián)連接組成整機，求整機壽命（以小時記） N的數(shù)學期望。 (二 ) 數(shù)學期望的計算 關(guān)鍵是 ：求出隨機變量的分布律或者密度函數(shù)。即 ()EX ＝ ()xf x dx????。 定義 : :設離散型隨機變量 X的分布律為 ? ?kkP X x p??， 1,2,3k? ?若級數(shù)1 kkk xp???絕對收斂，則稱級數(shù)1 kkk xp???為隨機變量 X的數(shù)學期望，記為 ()EX ,即 ()EX ＝1 kkk xp???。 所以當 N充分大時 , 平均數(shù) ???? ??20k kk pxx穩(wěn)定值 。 教學重點、難點 ： 數(shù)學期望的概念及其計算； 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算及數(shù)學期望的性質(zhì)。 167。例如： 評價糧食產(chǎn)量，只關(guān)注平均產(chǎn)量； 研究水稻品種優(yōu)劣，只關(guān)注每株平均粒數(shù)； 評價某班成績，只關(guān)注平均分數(shù)、偏離程度； 評價射擊水平，只關(guān)注平均命中環(huán)數(shù)、偏離程度。 【 本章難點 】 數(shù)學期望與方差的概念計算方法；隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算方法；協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的概念、性質(zhì)及計算方法 【 學時 分配】 79學時 分布函數(shù) : )()( xXPxF ?? —— 全面描述隨機變量 X取值的統(tǒng)計規(guī)律。遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 【 基本要求 】 理解隨機變量的數(shù)學期望與方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計算方法；掌握計算隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望方法；掌握二項分布、泊松分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的數(shù)學期望和方差；了解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的概念、性質(zhì)及計算方法。 【 本章重點 】 數(shù)學期望與方差的概念、性質(zhì)與計算方法；求隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的方法；二項分布、泊松分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的數(shù)學期望和方差。 但是，在實際問題中分布函數(shù)的確定并不是一件容易的事，而且有時我們也不需要知道分布函數(shù)，只需知道隨機變量的某些數(shù)字特征就夠了。 描述變量的平均值的量 —— 數(shù)學期望， 描述變量的離散程度的量 —— 方差。 數(shù)學期望 教學目的： 使學生理解掌握隨機變量的數(shù)學期望的實際意義及概念，會計算具體分布的數(shù)學期望；使學生理解掌握隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望的計算及數(shù)學期望的性質(zhì)。 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 教學過程： (一 ) 數(shù)學期望的概念 先看一個例子 :一射手進行打靶練習 ,規(guī)定射入 區(qū)域 2e 得 2 分 , 射入?yún)^(qū)域 1e 得 1分 ,脫靶即射入 區(qū)域 0e 得 0 分 .設射手一次射擊的得分數(shù) X是一個 e1 e0 隨機變量，而且 X的分布律為 P{X=k}= kp ,k=0,1,2 現(xiàn)射擊 N次，其中得 0分 0a 次，得 1分 1a 次，得 2分 2a 次， 0a +1a + 2a = N次得分的總和為 0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射擊的得分數(shù)為 ???????? 2 0210 210 k kNakN aaa ，因為當 N充分大時 , 頻率 kp概率穩(wěn)定值 ?? ??Na k 。 顯然 ,數(shù)值 ??20k kkpx完全由隨機變量 X的概率分布確定 ,而與試驗無關(guān)，它反映了平均數(shù) 的大小。 :設連續(xù)型隨機變量 X 的密度函數(shù)為 ()fx，若積分 ()xf x dx????絕對收斂，則稱積分 ()xf x dx????的值為隨機變量 X 的數(shù)學期望，記為 ()EX 。 數(shù)學期望簡稱期望，又稱為 均值 。 離散型 —— 若 則 ()EX ＝1 kkk xp??? （絕對收斂） e2 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 連續(xù)型 —— 若 X ～ 密度函數(shù) ，則 ()EX ＝ ()xf x dx???? （絕對收斂） 例 1 甲、乙兩個工人，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，在相同條件下，生產(chǎn) 100 件產(chǎn)品所出的廢品數(shù)分別用 X、Y 表示，它們的概率分布如下： X 0 1 2 3 KP Y 0 1 2 3 KP 0 問這兩個工人誰 的技術(shù)好 ? 解 : ()EX ＝ 0 1 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ?, ()EY ＝ 0 0. 5 1 0. 3 2 0. 2 3 0 0. 7? ? ? ? ? ? ? ? 甲工人生產(chǎn)出廢品的均值較小，甲的技術(shù)好。 (2)若將這 5 個電子裝置并聯(lián)連接組成整機，求整機壽命（以小時記）M的數(shù)學期望。 因為 5個電子裝置串聯(lián)，所以整機壽命 ? ?54321 ,m in XXXXXN ? 的分布函數(shù)為 ? ? ? ?? ? ??? ??????? ? .0,0 ,0,111 55m in xxexFxF x ?，因而 N的概率密度為 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 ? ? ??? ??? ? .0,0 ,0,55m in xxexf x ?? ，于是 N的數(shù)學期望為 , ? ? 5)( 0 55m in ??? ??? ?? ?? ????? dxexdxxxfNE x。 我們可以看到 ? ?? ? ?NE ME，即 5個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接工作的平均壽命是串聯(lián)聯(lián)接工作的平均壽命的 倍。其規(guī)律為 到站時刻 8:10 8:30 8:50 9:10 9:30 9:50 概率 1/6 3/6 2/6 一旅客 8:20 到站，求他候車時間的數(shù)學期望。 例 4 一個人數(shù)很多的團體中普查某種疾病，為此要抽驗 N 個人的血，可以用兩種方法進行。（ 2）按 k個人一組進行分組 .把 k個人抽來的血混合在一起進行檢驗，如 果這混合血液顯陰性反應，就說明 k 個人的血都顯陰性反應，這樣，這 k 個人的血就只需驗一次。試說明當 p較小時，選取適當?shù)?k，按第二種方法可以減少化驗的次數(shù)。 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 解 若按第二種方法，以 k個人為一組進行化驗，記 1p=q，設組內(nèi)每個人化驗的次數(shù)為 X，則X的可取值為kkk 1,1 ?.由于各人是否顯陰性是相互獨立的，所以 ： P{kx 1?}= P“ k 個人的混合血顯陰性” = P“ k個人的血都顯陰性” = P{kkx 1??}=P（ k個人的混合血顯陽性） = P（ k 個人的混合血不陰性） = kq?1 故每個人化驗次數(shù) X的期 望值為： 當時，在普查中平均每人的化驗次數(shù)就小于 1，從而第二種方法可以減少化驗的次數(shù)。當 p已知時，可選定 使 kqk 1? 達最大即 達最小，以 個人為一組進行化驗，將能最大限度地減少化驗次數(shù)。 （三） 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望 已知 X的分布，求 Y=g(X) 的數(shù)學期望 E(Y) 我們經(jīng)常需要求隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望，例如飛機機翼受到壓力 W=kV2（ V是風速， k0 是常數(shù)）的作用，需要求 W的數(shù)學期望，這里 W 是隨機變量 V 的函數(shù)。 定理 設 Y是隨機變量 X的函數(shù)， ()Y g X? （ g 是連續(xù)函數(shù)） 遼寧石油化工大學 概率論與數(shù)理統(tǒng)計教案 （ 1） X 是離散型隨機變量，它的分布律為 {}kkP X x p??， k ＝ 1， 2， 3，?，若1 ()kkk g X p???絕對收斂，則有 ( ) [ ( )]E Y E g x??1 ()kkk g x p??? （ 2） X 是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為 ()fx，若 ( ) ( )g x f x dx????? 絕對收斂，則有 ( ) [ ( )]E Y E g x??( ) ( )g x f x dx??