遼寧石油化工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征-資料下載頁(yè)
2025-08-26 17:45本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】差；了解協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩的概念、性質(zhì)及計(jì)算方法。二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布和指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望和方差?！婷枋鲭S機(jī)變量X取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但是，在實(shí)際問(wèn)題中。的某些數(shù)字特征就夠了。評(píng)價(jià)糧食產(chǎn)量，只關(guān)注平均產(chǎn)量；研究水稻品種優(yōu)劣，只關(guān)注每株平均粒數(shù)；評(píng)價(jià)射擊水平，只關(guān)注平均命中環(huán)數(shù)、偏離程度。使學(xué)生理解掌握隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的計(jì)算及數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)。20210210kkNakNaaa，因?yàn)楫?dāng)N充分大時(shí),頻率kp概率穩(wěn)定值????完全由隨機(jī)變量X的概率分布確定,而與試驗(yàn)無(wú)關(guān)，它反映了平均數(shù)的大小。數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。甲工人生產(chǎn)出廢品的均值較小，甲的技術(shù)好。，若將這5個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī)，求整機(jī)壽命。，并聯(lián)，整機(jī)壽命。所以若旅客8:20到站，則他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望為(分)。
【正文】 的大小表征著 X 與 Y 的線性相關(guān)程度。當(dāng) XY? 較大時(shí)，則 X 與 Y 的線性相關(guān)程度較好；當(dāng) XY? 較小時(shí)，則 X 與 Y 的線性相關(guān)程度較差。 當(dāng) 0XY? ? 時(shí)，稱 X 與 Y 不相關(guān)。 當(dāng) X 與 Y 相互獨(dú)立時(shí)， X 與 Y 不相關(guān)。反之，若 X 與 Y 不相關(guān)， X 與 Y 卻不一定相互獨(dú)立 ,該性質(zhì)說(shuō)明，獨(dú)立性是比不相關(guān)更為嚴(yán)格的條件。獨(dú)立性反映 ? 與 ? 之間不存在任何關(guān)系，而不相關(guān)只是就線性關(guān)系而言的，即使 X與 Y不相關(guān)，它們之間也還是可能存在函數(shù)關(guān)系的。相關(guān)系數(shù)只是 X與 Y間線性相關(guān)程度的一種量度。 關(guān)于不相關(guān)有如下 定理 ：對(duì)于 X,Y，下列等價(jià)： ① E(XY)=E(X)E(Y) ② D(X+Y)=D(X)+D(Y) ③ cov(X,Y)=0 ④ X,Y 不相關(guān)，即 ? =0 例 1 設(shè)（ X， Y）的分布律為 Y X 2 1 1 2 P{Y=i} 1 4 0 1/4 1/4 0 1/4 0 0 1/4 1/2 1/2 P{X=i} 1/4 1/4 1/4 1/4 1 易知， E（ X） =0， E（ Y） =5/2， E（ XY） =0，于是 xy? =0， X， Y 不相關(guān)。這表示 X， Y不存在線性關(guān)系。但， P{X=2， Y=1}=0≠ P {X=2}P{ Y=1}，知 X， Y不是相互獨(dú)立的。事實(shí)上， X 和 Y 具有關(guān)系： Y=X2， Y的值完全可由 X 的值所確定。 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 例 2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 ,XY（ ） 的概率密度為 21 2 0 1()0y y xf x y ? ? ? ?? ??， 其 它，求 XY? 。 解 230 12 4 0 1( ) ( , )0xxy dy x xf x f x y dy????? ? ? ???? ?????其 它 1 30 4( ) 4 5E x x x dx? ? ?? 1 2212 12 ( 1 ) 0 1( ) ( , ) 0yy y dx y y yf y f x y dx???? ? ? ? ? ???? ?????其 它 1 20 3( ) 1 2 (1 ) 5E y y y yd y? ? ?? 11250 0 0 1( ) 1 2 3 2xE x y d x x y y d y x d x? ? ? ?? ? ? 4 3 1( ) ( ) ( ) ( 5 5 5 0C o v X Y E X Y E X E Y? ? ? ? ?1） = 2 又 12 2 30 2( ) 4 3E x x x dx? ? ?? 所以 2 2 22 4 2( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 5D x E x E x? ? ? ? ? 112 2 2 4 500 2( ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( ) 5E y y y y d y y y d y? ? ? ? ??? 2 2 22 3 1( ) ( ) ( ) ( )5 5 2 5D y E y E y? ? ? ? ? 1( ) 6504( ) ( ) 2 175 25XYCo v X YD X D Y? ? ? ? 課堂練習(xí) P141 2 26 課后作業(yè) P141 2 29 167。 4 矩、協(xié)方差矩陣 教學(xué)目的： 使學(xué)生理解矩、協(xié)方差矩陣的定義及 n維正態(tài)變量的性質(zhì)。 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) ：矩、協(xié)方差矩陣的定義及 n維正態(tài)變量的性 質(zhì)。 教學(xué)過(guò)程： （一） 矩 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 設(shè) X,Y 是隨機(jī)變量 （ 1）若 E(Xk), k=1,2?，存在，則稱它為 X 的 k 階原點(diǎn)矩 ，簡(jiǎn)稱 k 階矩 。 （ 2）若 E{[XE(X)]k}, k=2,3?，存在，則稱它為 X的 k 階中心矩 。 （ 3）若 E(XkYl), k,l=1,2?，存在，則稱它為 X 和 Y 的 k+l 階混合矩 。 （ 4）若 E{[XE(X)]k[YE(Y)]l}, k,l=1,2?，存在，則稱它為 X和 Y的 k+l 階混合中心矩 。 X 的一階原點(diǎn)矩即為數(shù)學(xué)期望，二階中心矩即為方 差； XY和 的二階混合中心矩即為協(xié)方差。 n 維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣 (covariance matrix) （ 1）二維隨機(jī)變量（ X1,X2）有四個(gè)二階中心矩（設(shè)它們都存在），分別記為 11c =E{[X1E(X1)]2}, 12c =E{[X1E(X1)] [X2E(X2)]} 21c = E{[X2E(X2)] [X1E(X1)] }, 22c =E{[X2E(X2)]2}. 則稱矩陣 C= ???????? 2221 1211 cccc 為（ X1,X2） 的協(xié)方差矩陣。 （ 2）設(shè) n維隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）的二階混合中心矩 : ijc =Cov(Xi,Xj)=E{[XiE(Xi)][YjE(Yj)]}, i,j=1,2,? ,n 都存在 , 則稱矩陣 C=??????????????nnnnnnccccccccc??????212222111211為（ X1,X2,? ,Xn） 的協(xié)方差矩陣。 顯然 C 是一個(gè)對(duì)稱矩陣。 (二 ) n 維正態(tài)隨機(jī)變量的概率密度 （ 1） 二維正態(tài)隨機(jī)變量（ X1,X2）的概率密度 ? ? ? ? ?????????? ?????? ?????????? 2222212121212221))((2)1(2 1e x p121),( ? ??? ???? ??????yyxxyxf 因?yàn)?? ? ? ? ? ? 22222121122111 , ????? ??????? YDcYXC o vccXDc 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 所以（ X， Y）的協(xié)方差矩陣 C= ???????? 2221 1211 cccc = ????????2221 2121???? ???? 記 X= ????????YX, ????????? 21??? 則 (X， Y)的概率密度可寫成 ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ? ??? XCXCyxf 121e xp2 1, 2122 (2)n 維正態(tài)隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）的概率密度 記 X=??????????????nxxx?21, ??????????????n????21, n 維正態(tài)隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）的概率密度定義為 : ? ? ? ? ? ? ? ??????? ????? ? ??? XCXCxxxf nn 121 21e xp2 1, 212? 其中 C是 X1,X2,? ,Xn）的協(xié)方差矩陣 。 (三 ) n 維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì) （ 1） n 維正態(tài)變量（ X1,X2,? ,Xn）的每一個(gè)分量 Xi, i=1,2,? ,n 都是正態(tài)分量；反之，若 X1,X2,? ,Xn都是正態(tài)分量，且相互獨(dú)立，則（ X1,X2,? ,Xn）是 n 維正態(tài)變量。 （ 2） n 維隨機(jī)變量（ X1,X2,? ,Xn）服從正態(tài)分布的充要條件是 X1,X2,? ,Xn 的任意的線性組合 k1X1+ k2X2 +? +knXn服從一維正態(tài)分布（其中 k1,k2,? ,kn不全為零）。 （ 3） 若（ X1,X2,? ,Xn）服從 n維正態(tài) 分布，設(shè) Y1, Y2,? ,Yk是 Xj(j=1,2,? ,n)的線性函數(shù)，則（ Y1, Y2,? ,Yk）也服從多維正態(tài)分布 . （ 4） 設(shè)（ X1,X2,? ,Xn）服從 n 維正態(tài)分布，則“相互獨(dú)立與“ X1,X2,? ,Xn 兩兩不相關(guān)”是等價(jià)的。 課堂練習(xí) : P141 3 33 課 后作 業(yè) ： P141 32 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案
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