[理學]概率論第4章隨機變量的數(shù)字特征-資料下載頁
2025-01-19 14:50本頁面
【正文】 ( ) , ( ) , [ ( ) ] ( ) ( )YE X E Y E X Y E X E Y? ? ? ? ? ? ?引 理 (CauchySchwarz 不 等 式 ) 設(shè) X 為 任 意 兩 個 隨 機 變 量則2( ) 0 , .EX ?當 時 等 號 成 立2( ) ( )f t E tX Y t R? ? ?證 明 ： 構(gòu) 造2 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( )f t E X t E X Y t E Y? ? ? ? ?2 2 2 2, ( ) 0( ) 0 , [ 2 ( ) ] 4 ( ) ( ) 0t R f tE X E X Y E X E Y??? ? ? ? ?由 于 對 任 意 有當 時2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E XY E X E Y??返回 1 , ,( 1 ) | | 1 。( 2 ) | | 1 , , { } 1XYXYXYXYa b P Y a X b????? ? ? ? ?定 理 設(shè) 為 隨 機 變 量 的 相 關(guān) 系 數(shù) 則 有存 在 常 數(shù) 使 得22[ ( ) ( ) ]1 1 1 1( ) ( )E X E X Y E YE X E X E Y E Y???? ? ? ? ? ???即2 2 21 ) [ ( ) ] ( ) ( )E X Y E X E Y?證 明 ( ： 由 引 理22()11( ) ( )E X YE X E Y? ? ? ?( ) , ( ) , ,X EX Y EY X Y??以 代 替 上 式 的 有返回 （ 2） 1???如 果2 2 2( 1 ) : [ ( ) ] ( ) ( )E X Y E X E Y?由 的 證 明 可 得0??即? 2方 程 E ( t X + Y ) = 0 有 唯 一 實 根 ( 記 為 a)2( ) 0E aX Y? ? ?即22( ) ( ) [ ( ) ]D aX Y E aX Y E aX Y? ? ? ? ? ? ? ?2[ ( ) ]E aX Y? ? ? ?, , ( ) 0D aX Y? ? ?另 一 方 面 由 方 差 的 定 義, ( ) 0D aX Y? ? ?從 而( ( ) ) 1P aX Y b? ? ? ? ?某 常 數(shù) 記 為( ) 1P Y aX b? ? ?即返回 ( , ) 0()a C o v X Xa D X??() 1()a D Xa D X? ? ?2( , )( ) ( )C o v X a X bD X a D X? ???2( ) ( ) ( )D Y D aX b a D X? ? ? ( ) 1P Y aX b? ? ? ?如 果返回 定理 2 如果 X與 Y相互獨立 ,則 X與 Y不相關(guān) . c ov 00XYXYXY????證 明 ： 因 為 與 獨 立 ， 由 協(xié) 方 差 性 質(zhì)（ ， ）即 與 不 相 關(guān) 。但是，逆命題不成立 . 返回 證明 : (X, Y)的聯(lián)合分布密度為 : ]})()((2)([)1(2 1e x p {12 1),( 2222212121212221 ?????????????????????????yyxxyxf由前面的例知 : 221 1 2 2221 2 1 2~ ( , ) ~ ( , ) 。, , ,X N Y NE X E Y D X D Y? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?3 , .X?定 理 設(shè) (X,Y) 服 從 二 維 正 態(tài) 分 布 則 X 與 Y 獨 立 與 Y 不 相 關(guān)返回 221 212 221112212() 1()2 2 ( 1 )1( ) ( )21x yxxye e dx dy? ?????? ???? ? ? ??? ???? ??? ??? ???? ? ??????12( , ) [ ( ) ( ) ]Cov X Y E X Y??? ? ?12( ) ( ) ( , )x y f x y d x d y??? ? ? ?? ? ? ?? ? ???返回 1212222? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?1 2 121 2 11, ( ) ,1x y xuv ? ? ??? ? ??? ? ?? ? ??令 則22222120 ( ) 12uvC v X Y u u v e d u d v?? ?????? ? ? ?? ? ? ?? ? ???， （ ）2 2 2 222 1212 2 2 2 2122u v u vu e d u e d v u e d u v e d v? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?X ?? 與 Y 的 相 關(guān) 系 數(shù) 為0XY ???與 獨 立 ()即 X 與 Y 不 相 關(guān)返回 [例 ] 設(shè) (X, Y)等可能地取 (2, 0),(0, 2),(2, 0),(0, 2),試問 X與 Y是否獨立 ?是否相關(guān) ? 解 : X,Y的聯(lián)合分布律和邊緣分布律如下 : Y X 202?202?0410410410410?ipjp?414241414241返回 1 2 1( 2 ) 0 2 04 4 4EX ? ? ? ? ? ? ? ?( , ) ( ) ( ) ( ) 0C ov X Y E X Y E X E Y? ? ?即 X與 Y不相關(guān) . { 2 , 2 } 0P X Y? ? ? 1{ 2 } { 2 }16P X P Y? ? ? ?所以 X與 Y也不相互獨立 . 由此可得 X P 2 0 2 1/4 2/4 1/4 同理可得 ( ) 0EY ?XY P 0 1 ( ) 0 1 0E XY ? ? ?0? ?則?返回 四、原點矩與中心矩 設(shè) X的分布律 (密度 )為 pi(f (x)), (1)k階原點矩定義為 : ()kkv E X??1()( ) ( )kiiikxpx f x d x????????離 散連 續(xù)( 1 , 2 , )k ?(2)k階中心矩定義為 : () kku E X E X? ? ?1( ) ( )( ) ( ) ( )kiiikx EX px EX f x dx??????????離 散連 續(xù)返回 五、混合矩與協(xié)方差矩陣 (1) 混合原點矩 : ),2,1),( ??kYXE lk （(2) 混合中心矩 : (3) 若 X,Y的四個二階中心矩存在 ,分別記為 : .)(),()])([(),()])([()(2222112211DYEYYECXYC o vEXXEYYECYXC o vEYYEXXECDXEXXEC??????????????),2,1,(],)()[( ???? lkEYYEXXE lk返回 則協(xié)方差矩陣定義為 : ?????????22211211CCCCC返回 [例 ] 設(shè) (X, Y)服從二維正態(tài)分布 ,試寫出 (X, Y)的協(xié)方差矩陣 . 解 : ?????212221 ),(, ??? YXC o vDYDX?21 1 221 2 2( , )( , )D X C o v X YCC o v Y X D Y? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ?????? ?? 可見 ,二維正態(tài)隨機變量的聯(lián)合分布密度可借助于它的協(xié)方差矩陣將指數(shù)寫成矩陣形式 ,以便推廣到n維正態(tài)隨機變量的情形 .
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