【正文】 這就需驗(yàn) N次。（ 2）按 k個(gè)人一組進(jìn)行分組 .把 k個(gè)人抽來的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)，如 果這混合血液顯陰性反應(yīng)，就說明 k 個(gè)人的血都顯陰性反應(yīng)，這樣，這 k 個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次。若顯陽性，則再將對(duì)這 k 個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)，這樣，這 k個(gè)人的血總共要化驗(yàn) k+1 次 ,假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)顯陽性的概率為 p，且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的。試說明當(dāng) p較小時(shí)，選取適當(dāng)?shù)?k，按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)。并說明 k取什么值時(shí)最適宜。 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 解 若按第二種方法，以 k個(gè)人為一組進(jìn)行化驗(yàn)，記 1p=q，設(shè)組內(nèi)每個(gè)人化驗(yàn)的次數(shù)為 X，則X的可取值為kkk 1,1 ?.由于各人是否顯陰性是相互獨(dú)立的，所以 ： P{kx 1?}= P“ k 個(gè)人的混合血顯陰性” = P“ k個(gè)人的血都顯陰性” = P{kkx 1??}=P（ k個(gè)人的混合血顯陽性） = P（ k 個(gè)人的混合血不陰性） = kq?1 故每個(gè)人化驗(yàn)次數(shù) X的期 望值為： 當(dāng)時(shí)，在普查中平均每人的化驗(yàn)次數(shù)就小于 1，從而第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù)。顯然， p愈小這種方法愈有利。當(dāng) p已知時(shí)，可選定 使 kqk 1? 達(dá)最大即 達(dá)最小，以 個(gè)人為一組進(jìn)行化驗(yàn)，將能最大限度地減少化驗(yàn)次數(shù)。 例如 p= 即 q= 時(shí)可用賦值法求函數(shù) kqk 1? 的最大值： k 2 3 4 5 6 7 ? ? 可見，當(dāng) k=4 時(shí)，函數(shù) kqk 1? 有最大值 ，說明以 4 個(gè)人為一組進(jìn)行化驗(yàn)?zāi)軠p少 40%的工作量。 （三） 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知 X的分布，求 Y=g(X) 的數(shù)學(xué)期望 E(Y) 我們經(jīng)常需要求隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，例如飛機(jī)機(jī)翼受到壓力 W=kV2（ V是風(fēng)速， k0 是常數(shù)）的作用，需要求 W的數(shù)學(xué)期望，這里 W 是隨機(jī)變量 V 的函數(shù)。這時(shí)，可以通過下面的定理來求 W的數(shù)學(xué)期望。 定理 設(shè) Y是隨機(jī)變量 X的函數(shù)， ()Y g X? （ g 是連續(xù)函數(shù)） 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 （ 1） X 是離散型隨機(jī)變量，它的分布律為 {}kkP X x p??， k ＝ 1， 2， 3，?，若1 ()kkk g X p???絕對(duì)收斂，則有 ( ) [ ( )]E Y E g x??1 ()kkk g x p??? （ 2） X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為 ()fx，若 ( ) ( )g x f x dx????? 絕對(duì)收斂，則有 ( ) [ ( )]E Y E g x??( ) ( )g x f x dx????? 證明 ： 設(shè) X 是連續(xù)型隨機(jī)變量，且 y=g(x)滿足第二章167。 5 中定理的條件。 由第二章167。 5 中的（ ）式知道隨機(jī)變量 Y=g(X)的概率密度為 ??? ??? . ,0 ),(39。|)]([)( 其它 ?? yyhyhfyf xY 于是， E（ Y） = ?? ???? ?? dyyhyhyfdyyyf xY |)(39。|)]([)( 當(dāng) )(yh? 恒 0 時(shí)， E（ Y） = ?? ???? .)()(|)(39。|)]([ dxxfxgdyyhyhyf x?? 當(dāng) )(yh? 恒 0 時(shí)， E（ Y） = ? ?? ??? ??????? .)()()()()(39。)]([ dxxfxgdxxfxgdyyhyhyf x?? 綜合上兩式，（ ）得證。 上述定理還可以推廣到兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的情況。給出如下結(jié)論： 設(shè) Z是二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的函數(shù) ( , )Z g X Y? ,其中 g 是二元連續(xù)函數(shù)， （ 1）設(shè) ( , )XY 是離散型，其分布律為 ,{}i i ijP X x Y y p? ? ?， ,ij＝ 1， 2， 3，?， 則當(dāng)級(jí)數(shù)11 ( , )i i ijijg x y p??????絕對(duì)收斂時(shí)，有 ( ) [ ( , )]E Z E g x y??11 ( , )i i ijijg x y p?????? （ 3） 設(shè) ( , )XY 是連續(xù)型，密度函數(shù)為 ( , )f xy ，則當(dāng)積分 ( , ) ( , )g x y f x y d xd y?? ???? ???? 絕對(duì)收斂時(shí)，有 ( ) [ ( , )]E Z E g x y?? ( , ) ( , )g x y f x y d xd y?? ???? ???? 例 5 設(shè)風(fēng)速 V在（ 0， a）上服從均勻分布，即具有概率密度????? ???.,0,av01)(其它，avf 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力 W是 V的函數(shù)： 2kVW? （ V是風(fēng)速， k0 是常數(shù)），求 W的數(shù)學(xué)期望。 解 ：由（ ）式有 E（ W） = 222 311)( kadvakvdvvfkv ?? ?????? ?? 例 6 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X,Y）的概率密度為 ? ? ??? ?????? 其它,0 ,1,100, yxyxyxf ，試求 XY的數(shù)學(xué)期望。 解 ： ? ? ? ? ? ?? ? ? ????????? ????1010 31,XYE dx dyyxxydx dyyxx y f 例 7 按季節(jié)出售的某種應(yīng)時(shí)商品，每售出一公斤獲利潤(rùn) b元。如到季末尚有剩余商品，則每公斤凈虧損 l 元 .設(shè)某商店在季度內(nèi)這種商品的銷售量 X(以公斤計(jì) )是一隨機(jī)變量， 在區(qū)間 (s1， s2)上服從均勻分布。為使商店所獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，問商店應(yīng)進(jìn)多少貨 ? 解： 以 s（公斤）表示進(jìn)貨數(shù)，易知應(yīng)取 21 sss ?? ，進(jìn)貨 s 所得的利潤(rùn)記為 ? ?Xax ，則 ? ?Xax 是隨機(jī)變量，且有 ? ? ? ???? ??????? ., ,21 sXssb sXslXsbXXa x X的 概率密度為 ? ?????? ????.,0,1 2112其它sssssxf ， ? ?? ? ? ?? ?? ? ?????? ss sss dxsssbdxsslxsbxXaE 1 2 1212 11 ? ? ? ?1221212 22ssslbsbslsslb??????? ??????? 由于 ? ?? ?XaEdsds= ? ?? ?? ?1221 ssbslsslb ?????? ，令 ? ?? ?XaEdsd s =0，得 ? ?? ?lbbslss ??? 21 ，即當(dāng) ? ?? ?lbbslss ??? 21 （公斤）時(shí)獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大。 （四） 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 現(xiàn)在來證明數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)（以下設(shè) 所遇到的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望存在） 遼寧石油化工大學(xué) 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教案 1 設(shè) C 是常數(shù)，則有 ()EC C? 。 2 設(shè) X 是一個(gè)隨機(jī)變量， C 是常數(shù)，則有 ( ) ( )E CX CE X? 3 設(shè) X 、 Y 是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 ( ) ( ) ( )E X Y E X E Y? ? ? 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情況。 4 設(shè) X 、 Y 是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 ( ) ( ) ( )E XY E X E Y? 這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之積的情況。 證 ：證 3和 4， 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 f(x,y)，其邊緣概率密度為 fX(x),fY(y)， E(X+Y)= ? ?? ?? ? ??? ?????? ?????? ??? ??? dx dyyxyfdx dyyxxfdx dyyxfyx ),(),(),()( =E（ X） +E（ Y）， 3得證。 又若 X,Y 相互獨(dú)立， E（ XY） =? ???? ??? dxdyyxxyf ),( =? ???? ??? dx dyyfxxyf YX )()( = )()()()( YEXEdyyyfdxxxf YX ????????????? ?? ?????? ， 4 得證 例 11 一民航送客車載有 20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出，旅客有 10 個(gè)車站可以下車。如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車，以 X表示停車的次數(shù)，求 E（ X）（設(shè)每位旅