【正文】 度函數(shù) 求 EW。 又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力 W是 V的函數(shù)： ),0( a??? ???其它,00,/1)( avavf),0(2 ?? kkVW廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布，而 ， ),( YXgZ ?連續(xù)函數(shù)。 求隨機(jī)變量 Z的數(shù)學(xué)期望。 （ 1） 離散型 設(shè) (X,Y)的分布律為 ijji pyYxXP ??? },{ ?,3,2,1?i則有 )],([ YXgEEZ ? ? ??????1 1),(jijjiipyxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 , ),( yxf 則有 ? ????? ?????? d x d yyxfyxgYXgEEY ),(),()],([其中 g為 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布，而 ， ),( YXgZ ?連續(xù)函數(shù)。 求隨機(jī)變量 Z的數(shù)學(xué)期望。 （ 1） 離散型 設(shè) (X,Y)的分布律為 ijji pyYxXP ??? },{ ?,3,2,1?i則有 )],([ YXgEEZ ? ? ??????1 1),(jijjiipyxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 , ),( yxf 則有 其中 g為 ????1)(iii pxXE????1)()]([iii pxgXgE? ??????1 1),()],([jijjiipyxgYXgE? ????? dxxxfXE )()(? ????? dxxfxgXgE )()()]([? ????? ?????? d x d yyxfyxgYXgEEY ),(),()],([廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合概率分布為 求 EX,EY,E(XY)。 X 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 Y 0 1 2 3 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè)隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 ????? ????其它,01,1,23),( 23 xxyxyxyxf求數(shù)學(xué)期望 ).1(, XYEEY廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回22 )(),(),(s i n EXXEXEXE ?例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 (0,π) 上的均勻分布 ,求 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 4 某公司計(jì)劃開發(fā)一種新產(chǎn)品，并試圖確定該產(chǎn)品的產(chǎn)量。他們估計(jì)出售生件產(chǎn)品可獲利 m元，而積壓一件產(chǎn)品導(dǎo)致 n元的損失。再者，他們預(yù)測銷售量 Y（件）服從指數(shù)分布，其概率密度為 ???????? ?0,00,1)( /yyeyf yY??問若要獲得利潤的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 5 設(shè)隨機(jī)落在曲線 與 x軸所圍閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的分布是均勻分布。以 表示落點(diǎn)的坐標(biāo)。（ 1）求落點(diǎn)到 y軸距離的概率密度和分布函數(shù)；（ 2）求落點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方的數(shù)學(xué)期望。 22 xxy ??),( YX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回24 xy ??例 6 向平面區(qū)域 內(nèi)隨機(jī)等可能地投擲一 所圍成的曲邊梯形面積的數(shù)學(xué)期望。 0,40: 2 ???? xxyG點(diǎn)，求（ 1）該點(diǎn)到 y軸距離的分布密度； （ 2）過該點(diǎn)作 y軸的平行線與 y軸 x軸及曲線 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回?cái)?shù)學(xué)期望的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) C為常數(shù)，則有 。 CEC ?性質(zhì) 2 設(shè) X為隨機(jī)變量， C為常數(shù)，則有 )()( XCECXE ?性質(zhì) 3 設(shè) X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 )()()( YEXEYXE ???性質(zhì) 4 設(shè) X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量， a,b為常數(shù)，則有 )()()( YbEXaEbYaXE ???性質(zhì) 5 設(shè) X,Y為兩個(gè) 相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量，則有 )()()( YEXEXYE ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 空港快線載有 20位旅客從白云機(jī)場開出，旅客有 10個(gè)車站可以下車。如到達(dá)一個(gè)車間沒有旅客下車就不停，以 X表示停車的次數(shù)，若每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并且各旅客是否下車相互獨(dú)立，求 EX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布 ，求 EX。 ),( pnB廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回??? ???其它,010,2)( iiig??? ???其它,030,9/)( 2 rrrh例 3 設(shè)一電路是電流 與電阻 是兩上相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 )(AI )(?R試求電壓 的均值。 IRV ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 4 （ 1）已知隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 1/2的指數(shù) 分布， 求 隨機(jī)變量 Z=3X2的數(shù)學(xué)期望 EZ。 （ 2）已知隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 2的泊松 (Poisson)分布 , Y~N(2,4)， Z=XY，則 EZ= 若 X,Y獨(dú)立 ,則 E(XY)= 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回))21(,0( 2N|| YX ? ?? || YXE例 6（ 96）設(shè) X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布 的隨機(jī)變量，則 （ 1）隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 7 設(shè)隨機(jī)落在曲線 與 x軸所圍閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的分布是均勻分布。以 表示落點(diǎn)的坐標(biāo)。（ 1）求落點(diǎn)到 y軸距離的概率密度和分布函數(shù)；（ 2）求落點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方的數(shù)學(xué)期望。 22 xxy ??),( YX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回167。 2 方 差 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回定義 設(shè) X為隨機(jī)變量，若 ])[( 2EXXE ?存在，稱 為隨機(jī)變量 X的 方差 。 ])[( 2EXXE ? 記為 DX 或 )(XVar即 ])[( 2EXXEDX ??稱為 隨機(jī)變量 X的 標(biāo)準(zhǔn)差 或 方差根 或 均方差 。 DX 方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量 X 取值分散程度。方差越大，表示隨機(jī)變量 X的 取值分散程度越大 , 或者說方差越小 , 表示隨機(jī)變量 X的取值越集中。 方差的意義 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回方差的計(jì)算 （ 1） 離散型 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i則有 ])[( 2EXXEDX ?? ?????12)(iii pEXx????1)()]([iii pxgXgE（ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 , )(xf 則有 ? ????? dxxfxgXgE )()()]([])[( 2EXXEDX ?? ? ???? ?? dxxfEXx )()( 2廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回.)]([)()( 22 XEXEXD ??證明 })]([)(2{ 22 XEXXEXE ???22 )]([)()(2)( XEXEXEXE ???22 )]([)( XEXE ??一個(gè)重要公式 ])[( 2EXXEDX ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 3101PX ?求 。 )(XD廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 2 設(shè) X服從參數(shù)為 p的 0— 1分布，求 DX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X 的方差。 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 4 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 上的均勻分布，求 DX。 ),( ba廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 5 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其密度為 ???????? ?0,00,1)( /xxexf x ???求 DX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 6 設(shè)隨機(jī)變量 ，求 DX。 ),(~ 2??NX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回? 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回例 7 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 ,010,101,1)(?????????????其它xxxxxf求 DX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁上頁 返回方差的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) C為常數(shù)，則有 。 0)( ?CD性質(zhì) 2 設(shè) X為隨機(jī)變量， C為常數(shù)，則有 )()( 2 XDCCXD ?性質(zhì) 3 設(shè) X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 )])([(2)()()( 22 EYYEXXa b EYDbXDabYaXD ??????特別地，若 X與 Y相互獨(dú)立，則有 )()()( 22 YDbXDabYaXD ???性質(zhì) 4 當(dāng)且僅當(dāng) 。 0?DX 1}{ ?? C