概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四章-展示頁(yè)
2024-10-25 12:17本頁(yè)面
【正文】 定義 34 隨機(jī)變量離差平方的數(shù)學(xué)期望 ,稱為隨機(jī)變量的方差 , 記 或 而 稱為 的標(biāo)準(zhǔn)差 ?D2?? ??D)16(,)( 2??? EED ?? (一 ) 方差的定義 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 若 是離散型隨機(jī)變量 ,且 ?)17()(..)2,1(,}{2? ?????kkkkpExDkpxp???若 是連續(xù)型隨機(jī)變量 ,有概率密度 )18()()( 2 dxxExD ??? ? ??? ??隨機(jī)變量的方差是一個(gè)正數(shù) , 當(dāng) 的可能值在它的期望值 附近 ,方差小 ,反之則大 .方差表示隨機(jī)變量的離散程度 . ? )(x?? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例 8 甲乙兩個(gè)射手，射擊點(diǎn)和目標(biāo)的距離分別為 ，且分布律 21,?? 80 85 90 95 100 85 90 95 p p 1? 2? 求 21, ?? DD)9095()()9090()()9085()90100()9095()9090()9085()9080(90)(90)10095908580(22222222222121???????????????????????????????????????????????????DDEE甲 ,乙雙方的數(shù)學(xué)期望相同 ,表示他們的準(zhǔn)確度相同 .由于乙的方 差小 ,表示乙射手比甲射手好 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (二 ) 方差的性質(zhì) 常數(shù)的方差等于 0 證明： 0)()()( 22 ????? ccEEccEcD隨機(jī)變量和常數(shù)之和的方差就等于這個(gè)隨機(jī)變量的方差。 證明：設(shè) 是離散型隨機(jī)變量 ??,這個(gè)性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè) )33()..(1 ???? ? in EE ???? ? ? ? E E p y xp p y p x p y x E j j j i i ij j j i ij j i i ij j j i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 推理： )43(1)1(1?? ??? iinii EnnE ?? （ 6）兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于它們數(shù)學(xué) 期 望的乘積。 數(shù)學(xué)期望與方差 一 .數(shù)學(xué)期望 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 隨機(jī)變量 x及它所取的數(shù)和相應(yīng)頻率的乘積和 ,稱為 x的平 均數(shù) (屬于加權(quán)平均 )也稱為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值 . (一 )離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義 1 離散型隨機(jī)變量 X 有概率函數(shù) P(X=xk)=Pk (k=1,2,....) 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 ,則稱這個(gè)級(jí)數(shù)為 X 的數(shù)學(xué)期望 ???1kkk px)(XE)(XE= ???1kkk px 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例 1 甲在機(jī)床上生產(chǎn)某產(chǎn)品 ,若一等品能賺 5元 ,二等品賺 3元 , 次品虧 2元 .甲生產(chǎn)時(shí)一等品、二等品及次品的概率為 , .問生產(chǎn)每件產(chǎn)品平均能創(chuàng)造多少財(cái)富 ? 分析 : x 2 3 5 p )2()( ????????xE數(shù)學(xué)期望為 .表示生產(chǎn)一件產(chǎn)品能創(chuàng)造 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 (二 )連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 有概率密度 )(x??若 ????dxxx )(? 絕對(duì)收斂 ,則 稱為 的 數(shù)學(xué)期望 ? 隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的平均數(shù) .它是將 隨機(jī)變量 x及它所取的數(shù)和相應(yīng)頻率的乘積和 . )(XE= ???1kkk px(1) ) 2 3 ( ) ( ? ? ? ? ? ? dx x x E ? ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 例 2 計(jì)算在區(qū)間 [a,b]上服從均勻分布的隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望 2211{)(22,1,0abababx dxababdxxExbabxaab?????????????????????其他可見均勻分布的數(shù)學(xué)期望為區(qū)間的中值 . ? 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 定理 1 設(shè) Y是隨機(jī)變量 X的函數(shù) ,Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù) ) (1)若 X是離散型隨機(jī)變量 ,它的分布律為 P{X=xk}=pk. K=1,2,.. 若 )7()()]([)(,)(11kkkkkk pxgXgEYEpxg ????????則絕對(duì)收斂 (2)若 X是連續(xù)型隨機(jī)變量 ,它的概率密度為 f(x). )8()()()]([)(,.)()( ?? ???????? ?? dxxfxgXgEYEdxxfxg 則絕對(duì)收斂 定理 1表示 :求 E(Y)時(shí) ,不必知道 Y的分布 ,而只要知道 X的分布 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)電子教案 武漢科技學(xué)院數(shù)理系 定理 2 設(shè) Z是隨機(jī)變量 X和 Y的函數(shù) ,Z=g(X,Y)(g是連續(xù)函數(shù) ),那么 Z也是一個(gè)隨機(jī)變量 ,設(shè) (X,Y)的概率密度為 f(x,y),則 )9(),(),()],([)( ? ????? ?????? dx dyyxfyxgYXgEZE這里假設(shè)上式右邊的積分絕對(duì)收斂 . 若 (X,Y)為離散型隨機(jī)變量 ,其分布律為 P{X= , Y= }= ,i,j=1,2,... 則 ijjj ii pyxgYXgEZE ),()],([)(1 1? ??
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