概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)-展示頁(yè)
2025-07-28 20:30本頁(yè)面
【正文】 與其他數(shù)學(xué)分支之間的密切關(guān)系 。與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使以前只有理論而無(wú)法計(jì)算的內(nèi)容找到了廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo) 王曉謙 引言 數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語(yǔ)言和有效工具。在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的應(yīng)用不斷深入。 概率和統(tǒng)計(jì)具有不同于其他數(shù)學(xué)分支的思維方式。要 培養(yǎng)利用概率、統(tǒng)計(jì)的思想思考、處理問題的能力 。 研究隨機(jī)現(xiàn)象的第一步： 定義事件 在給定條件下，可能發(fā)生這樣的結(jié)果，也可能發(fā)生那樣的結(jié)果，這就是隨機(jī)現(xiàn)象。 隨機(jī)事件： 我們把在給定條件實(shí)現(xiàn)之后，可以判斷是否發(fā)生的結(jié)果叫做隨機(jī)事件，用大些英文字母表示。 在正常條件下，他射出一發(fā)子彈，落點(diǎn)會(huì)是隨機(jī)的，都有哪些隨機(jī)事件呢？無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)事件： A:十環(huán) B:九環(huán)， …… ， E:沒有脫靶， F:脫靶， …… ，等等等等， 這些都是可能發(fā)生的結(jié)果，都是隨機(jī)事件。 兩個(gè)特例： 不可能事件： 用字母 Φ 表示。 必然事件： 用字母 Ω 表示。 ?????事件 必然事件 隨機(jī)事件 不可能事件 B. 事件的概率 事件的 概率 就是刻劃該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的 數(shù)量指標(biāo) 。 概率的第一個(gè)基本性質(zhì)： 對(duì)于任意事件 A， 0 ( ) 1 .PA??這是一種要求！ 例： 七個(gè)有變異的豌豆特征 （ P89） 子的形狀，子的顏色，豆莢的形狀，豆莢外衣的顏色，未成熟豆莢的顏色，花的位臵，豆梗的長(zhǎng)度 孟德爾把綠色豌豆與黃色豌豆雜交，結(jié)果下一代都是黃色豌豆。 我們把這一代叫做雜交第一子代，簡(jiǎn)稱為子一代。（ 1822～ 1884） 孟德爾把雜交黃色豌豆作為第一子代 F1，培育出第二子代 F2。他的預(yù)言是： 75%的黃色豌豆 25%綠色豌豆 即兩者比例為 3： 1。 這樣的豌豆自由雜交，在第二子代 F2中會(huì)出現(xiàn)四種情況： YY,YG,GY,GG。其中 黃色： YY,YG,GY； 綠色： GG 所以黃色豌豆與綠色豌豆數(shù)量的比例應(yīng)該是 3： 1。這里用的是頻率估計(jì)概率的思想。不過大多數(shù)人相信是 先做的試驗(yàn)， 然后利用觀測(cè)到的現(xiàn)象（概率統(tǒng)計(jì)思想）提 出大膽的理論， 利用提出的理論對(duì)觀測(cè)結(jié)果作出解釋， 再利用理論作預(yù)測(cè)， 然后通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論預(yù)測(cè)的可靠性。 為了估計(jì)事件 A發(fā)生的概率，我們?cè)谙嗤瑮l件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)次數(shù) n和事件 A發(fā)生的次數(shù) m，然后用事件 A在這 n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件 A發(fā)生的概率的估計(jì)值 ( ) .mPAn?求概率之基本方法 —— 試驗(yàn)法。 ( ) 1 ,P ? ? ??概率的第二個(gè)基本性質(zhì) ： 這不是公式，是一種規(guī)范化要求。 滿足前兩條的結(jié)果叫基本事件。如果還滿足第三條的話，這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的概率計(jì)算模型就叫做 古典概型 。 這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的概率計(jì)算模型就叫做 幾何概型 。 坐標(biāo)作為 ( , )ab方程有實(shí)根等價(jià)于 4 0 .ba??這等價(jià)于要求點(diǎn)必須取在區(qū)域 A中。 例三 貝特朗奇論 在圓內(nèi)任取一弦，問其長(zhǎng)度超過內(nèi)接等邊三角形 邊長(zhǎng)的概率是多少？ 貝特朗給出了三中求解方法。如圖所示： 當(dāng)且僅當(dāng)弦 AB與圓形的 距離小于 2r 時(shí)，有 3lr? 所以所求概率為 12GHPEF??之長(zhǎng) 。當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)落到 半徑為 2r 的同心圓內(nèi)時(shí)，弦長(zhǎng) 3lr?所以，如圖所示， 所求概率為 2212.4rCPSr????????? ? ?的面積的面積（ 3）、因?yàn)槿魏蜗叶冀粓A于兩點(diǎn)，并且具有對(duì)稱性， 所以不妨固定弦的一端 A于圓周上，另一端在圓周上任 意取。 是一組互斥事件，那么 12, , , nA A A121nnkkA A A A??? ?＋中至少有一個(gè)發(fā)生這個(gè)事件。如果知道每個(gè) 事件的概率，我們就可以算出許多其它事件的概率。 kA例如， 對(duì)立事件： 如果兩個(gè)事件互斥，而且每次試驗(yàn)或觀測(cè)兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生，那么這兩個(gè)事件就叫做一對(duì)對(duì)立事件。顯然 AA? ? ? 所以 ( ) ( ) A P A??( ) 1 ( ) .P A P A＝－或等價(jià)地 例、求 500人中至少有一人生日在今天的概率。 0 1 500, , ,B B B互斥，而且 1 2 5 0 0A B B B? ? ? ? 所以 1 2 5 0 0( ) ( ) ( ) ( )P A P B P B P B? ? ? ?則不難發(fā)現(xiàn)這 501個(gè)事件 由于 500500500364( ) , 0 , 1 , 2 , , 500 ,365kkkCP B k??? ?? ?所以 1 2 50 05005005005001( ) ( ) ( ) ( )364.365kkkP A P B P B P BC??? ? ? ???????????????????? ? ?解法二、 顯然 A 表示 0 5 0 0 0 5005000 5 0 0 5 0 0364 364( ) ( ) ,36 5 36 5CP A P B ??? ? ?所以 5005005003 6 4 3 6 4( ) 1 ( ) 1 1 .3 6 5 3 6 5P A P A ??? ? ? ? ? ? ????“ 500人中沒有一人在今天過生日”， 我們可以求出 比較這兩個(gè)結(jié)果你可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)公式 5005005005005001364 3641,3 6 5 3 6 5kkkC ??? ?????????即 5005005005000364 1,365kkkC ??? ??事實(shí)上， 5005 0 0 5 0 05005005005 0 0 5 0 000500500364 13643 6 5 3 6 51( 1 3 6 4 ) 1365kkkkkkCC??????? ? ? ???第五節(jié) 獨(dú)立性概念 積事件 ：設(shè) A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，稱 “ 事件 A與 B同時(shí)發(fā)生 ” 這個(gè)事件為事件 A與事件 B的 積事件 ，記作 AB。 例如： kA表示第 k次投擲硬幣出現(xiàn)正面， k=1,2,…… , 12 nA A A就表示 “ 連續(xù)投擲硬幣 n次都出現(xiàn)正面 ” 這個(gè)隨機(jī)事件。 所以，如果知道事件相互獨(dú)立，那么事件同時(shí)發(fā)生的概率就等于每一個(gè)發(fā)生的概率的積。 kC表示 1 2 5 0 0A C C C?不難理解 1 2 5 0 0, , ,C C C也是相互獨(dú)立的一組事件，而且 364( ) , 1 , 2 , , 5 0 0 .365kP C k?? 方法三、用 第 k個(gè)人在今天過生日， k=1,2,…… ,500。顯然 所以 ， 1 2 5 0 0( ) 1 ( ) 1 ( )P A P A P C C C? ? ? ?5003641.365????????1 2 5 0 01 ( ) ( ) ( )P C P C P C?? 連續(xù)投擲一枚硬幣 n次，計(jì)算其中恰好出現(xiàn) k次正面的概率， ?? 這個(gè)問題有如下三點(diǎn)要注意： （ 1） .每次試驗(yàn)（或觀測(cè)）只有兩種可能的結(jié)果，其 一記為 A,另一個(gè)就是 。即各次試驗(yàn)或觀測(cè)相互獨(dú)立。在研究獨(dú)立試驗(yàn)序列時(shí)，一個(gè)基本問題就是， n次試驗(yàn)中事件 A恰好發(fā)生
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