【正文】 用正態(tài)分布近似計(jì)算15 第六章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 關(guān)鍵詞： 總 體 個(gè) 體 樣 本 統(tǒng) 計(jì) 量 2? ? 分布t ?分布F ?分布16 引言： 數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué) 是一門關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理、分析 和推斷的科學(xué)。 ? ?200PX??? ?, , 1 0 0 0 0 , 0 .0 1 7b n p n p? ? ?解 ： 設(shè) X 為 一 年 中 投 保 老 人 的 死 亡 數(shù) ， 則 X由德莫佛拉普拉斯中心極限定理，保險(xiǎn)公司虧本的概率為：? ?10 00 0 10 00 0 20 0PX ??? ?20221npn p p?????? ? ????? ?1 1 ? ? ? ?10思 考 題 ：求 保 險(xiǎn) 公 司 至 少盈 利 萬 元 的 概 率 。 1 2 161 6 , , , ,XX解 ： 記 只 電 器 元 件 的 壽 命 分 別 為 X16116 iiX?? ?則 只 電 器 元 件 的 壽 命 總 和 為 X,? ? ? ? 210 0 , 10 0iiE X D X??由 題 設(shè)? ?1611 6 1 0 01600 0 , 14 1 0 0 4 0 0iiXX N????????根 據(jù) 獨(dú) 立 同 分 布 的 中 心 極 限 定 理 : Y 近 似 服 從? ? ? ? 19 20 1 19 20P X P X? ? ? ?? ?1 9 2 0 1 6 0 01 400?? ? ?? ?1 19? ? ? ?13 例 3：某保險(xiǎn)公司的老年人壽保險(xiǎn)有 1萬人參加，每人每年交 200元 , 若老人在該年內(nèi)死亡，公司付給受益人 1萬元。 10 ? ?5. 4 定理 獨(dú)立同分布的中心極限定理? ?2110 , 1 .( , ) ,( ) ( ) ( ) .nniin Y NN n nb n a nP a X bnn?????????? ? ? ? ? ???nii ＝此 定 理 表 明 ， 當(dāng) 充 分 大 時(shí) ， 近 似 服 從即 ： X（ 近 似 ） ～從 而 ，1X ? ?nii=1思 考 題 ：X 的 近 似n分 布 是 什 么 ？2( , )Nn??答 案 ：? ? ? ?? ?212211 2, , , , , 1 , 2 ,1,2niiniinni txinnnXXE X D X iXnnYnXnx R l i m P Y x l i m P x e dtn??????????? ?? ? ?? ??? ? ????????? ? ? ? ? ????????????設(shè) 隨 機(jī) 變 量 X 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ，則 前 個(gè) 變 量 的 和 的 標(biāo) 準(zhǔn) 化 變 量 為 ：有 ： 證 明 略 。 ? ?5 .3 , 0 , 1AAnA p n nnA lim P pn??? ? ???? ? ? ? ?????定理 貝努里大數(shù)定理 設(shè)事件 在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為 ，記 為 次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中 發(fā)生的次數(shù) 則 有：? ?,An b n p?證明：利用契比雪夫不等式，因 故：? ?11 ,A AnE E n n p pn n n?? ? ? ? ?????20 , 1An pqPpn n?? ???? ? ? ? ? ?????于是， 有? ?2211A An pqD D n n p qnnnn?? ? ? ? ?????1An nlim P pn ?? ? ? ??? ? ?????即得：9 167。 nA解 ： 設(shè) 在 重 貝 努 里 試 驗(yàn) 中 ， 事 件 出 現(xiàn) 的 次 數(shù) 為 X ，? ?, 0. 75bn?則 X,? ? ? ?0 .7 5 , 0 .1 8 7 5 ,E X n p n D X n p q n? ? ? ?? ?n XfA n?又 ? ? ? ?0 . 7 4 0 . 7 6 0 . 7 5 0 . 0 1XP P X n nn? ? ? ? ?而? ? 20 .1 8 7 510 .0 1nn??18751 0 . 9 0n? ? ? 1 8 7 5 0n??6 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定義 ? ?? ?1 2 3 , , , ,0 , 0 ,nnnXXl i m P XXpn?? ? ???? ? ?? ? ? ? ????。1 數(shù) 理 統(tǒng) 計(jì) 2 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 關(guān)鍵詞： 契比雪夫不等式 大數(shù)定律 中心極限定理 3 167。 1 大數(shù)定律 背景 本章的大數(shù)定律，對第一章中提出的 “頻率穩(wěn)定性”，給出理論上的論證 為了證明大數(shù)定理，先介紹一個(gè)重要不等式 4 ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ?222225. 1 ,0, 1X E X D XP X E XP X E X???????????? ? ? ?? ? ? ?定 理 契 比 雪 夫 不 等 式 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 具 有 數(shù) 學(xué) 期 望 方 差 則 對 于 任 意 都 有 ：定 理 的 為 ：等 價(jià) 形 式? ? ? ? ,fx證 明 ： 僅 就 X 為 連 續(xù) 型 時(shí) 證 之 設(shè) X 的 概 率 密 度 為? ? ? ?xP X f x d x??????? ? ? ?則 ? ? ? ?22xx f x d x???????? ?? ? ? ?221 x f x d x?? ???????? ? 222DX ?????()fx??? ????5 例 1：在 n重貝努里試驗(yàn)中，若已知每次試驗(yàn)事件 A 出現(xiàn)的概率為 ，試?yán)闷醣妊┓虿坏仁焦? 計(jì) n,使 A出現(xiàn)的頻率在 小于 。定 義 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 X 若 存 在 某 常 數(shù) ， 使 得 均 有 ： 則 稱 隨 機(jī) 變 量 序 列 依 概 率 收 斂 于 常 數(shù) ， 記 為 ： X7 ? ?? ?12211, , , ,101l i m l i m 1nnnkknnknnkXXn Y XnP Y P Xn???? ? ? ??? ? ? ???????? ? ? ? ? ???????定 理 契 比 雪 夫 不 等 式 的 特 殊 情 形 ： 設(shè) 隨 機(jī) 變 量 序 列 X 相 互 獨(dú) 立 ， 且 具 有 相 同 的 數(shù) 學(xué) 期 望 和 相 同 的 方 差 ， 作 前 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 的 算 術(shù) 平 均 ： 則 ， 有 ： ? ?111 ,nnkkE Y E X nnn ?????? ? ? ??????證 明 ： 由 于? ?11 nnkkD Y D Xn???? ????? ? ?2 11 n kkDXn?? ? 2221 n nn ??? ? ?2211 1n kknPXn??????? ? ? ? ??????由 契 比 雪 夫 不 等 式 得 ：11 1n kn kli m P Xn ???? ???? ? ? ??????8 大數(shù)定律的重要意義： 貝努里大數(shù)定律建立了在大量重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，正因?yàn)檫@種穩(wěn)定性，概率的概念才有客觀意義，貝努里大數(shù)定律還提供了通過試驗(yàn)來確定事件概率的方法，既然頻率 nA/n與概率 p有較大偏差的可能性很小，我們便可以通過做試驗(yàn)確定某事件發(fā)生的頻率并把它作為相應(yīng)的概率估計(jì)，這種方法即是在第 7章將要介紹的參數(shù)估計(jì)法，參數(shù)估計(jì)的重要理論基礎(chǔ)之一就是大數(shù)定理。 2 中心極限定理 背景： 有許多隨機(jī)變量，它們是由大量的相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量的綜合影響所形成的，而其中每 個(gè)個(gè)別的因素作用都很小，這種隨機(jī)變量往 往服從或近似服從正態(tài)分布，或者說它的極 限分布是正態(tài)分布，中心極限定理正是從數(shù) 學(xué)上論證了這一現(xiàn)象，它在長達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的 時(shí)期內(nèi)曾是概率論研究的中心課題。11 ? ?5 .5 定理 德莫佛 拉普拉斯定理2215 . 4 ,( 1 ) 2tbAn an n pli m P a b e d tn p p ??? ? ??? ?? ? ?????? ?由 定 理1 0 iiAiA?? ??第 次 試 驗(yàn) 時(shí) 發(fā) 生證 明 ： 令 X第 次 試 驗(yàn) 時(shí) 未 發(fā) 生? ? ? ?? ?220 1 ,1, l im ,( 1 ) 2AtbAn an n A P A p pn n pa b P a b e d tn p p ??? ? ?? ? ??? ?? ? ?????? ?設(shè) 為 次 貝 努 里 試 驗(yàn) 中 發(fā) 生 的 次 數(shù) ，則 對 任 何 區(qū) 間 ， 有 ：12, , , , ~ ( 1 , ) .nX X b pi則 X 相 互 獨(dú) 立 同 分 布 ,X12 ,Ann X X X? ? ? ?由 于( ) ~ ( , ( 1 ) ) .N np np p?A即 :n 近 似? ?()(1 )()(1 )AP a n bb npnp pa npnp p??????????12 例 2：設(shè)某種電器元件的壽命服從均值為 100小時(shí)的指 數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)取得 16只，設(shè)它們的壽命是相互 獨(dú)立的 ,求這 16只元件的壽命的總和大于 1920小 時(shí)的概率。設(shè)老年人死亡 率為 ，試求保險(xiǎn)公司在一年內(nèi)這項(xiàng)保險(xiǎn)虧本的概率。答 案 ： 14 例 4：設(shè)某工廠有 400臺同類機(jī)器，各臺機(jī)器發(fā)生故障的概 率都是 ，各臺機(jī)器工作是相互獨(dú)立的，試求機(jī) 器出故障的臺數(shù)不小于 2的概率。在概率論中已經(jīng)知道，由于大 量的 隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的 規(guī)律 性，因而從理論上講只要對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行 足夠多次觀察，各種結(jié)果的規(guī)律性一定能清楚 地呈現(xiàn)，但是實(shí)際上所允許的觀察永遠(yuǎn)是有限 的，甚至是 少量的。 17 167。如一批燈泡。如某個(gè)燈泡。 隨機(jī)樣本： 隨機(jī)抽取的 n個(gè)個(gè)體的集合 (X1,X2,?,X n), n為樣本容量 簡單隨機(jī)樣本： 滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本 (X1,X2,?,X n)稱 為簡單隨機(jī)樣本。 常用統(tǒng)計(jì)量： 設(shè)（ X1,X2,?,X n）為取自總體 X的樣本 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?221 2 31 2 3 2 1 2 3323121, , , , 1 X 2 X 2 3 m a x , , 1 4 5 iiN X X XX X X X XX X X? ? ? ??? ?? ? ???思 考 題 ： ( 一 ) 設(shè) 在 總 體 中 抽 取 樣 本 其 中 已 知 ， 未 知 指 出 在中 哪 些 是 統(tǒng) 計(jì) 量 ， 哪 些 不 是 統(tǒng) 計(jì) 量 ， 為 什 么 ？111 . X n iiXn?? ?樣 本 均 值? ?? ?1113 . 1 , 2 ,1 ( ) 1 , 2 ,nkkiinkkiik A X knk B X X kn????? ? ???樣 本 矩 階 矩 ：階 中 心 矩 ：22112 . ( ) ,1 n iiS X X Sn??