【正文】 } ，則： {甲、乙至少有一人來 } {甲、乙都來 } {甲、乙都不來 } {甲、乙至少有一人不來 } 16 167。121121,ninininiA A A AA A A A????????： 至少有一發(fā)生： 同時發(fā)生S B A S A B S B A AB?? A與 B的和事件，記為 ,A B A B A B??? A與 B的積事件，記為 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?且 ： 與 同時發(fā)生。 為方便起見，記 Φ為 不可能事件 ， Φ不包含 任何樣本點。 S＝ {0,1,2,?} ； ?記 A＝ {至少有 10人候車 }＝ {10,11,12,?} S ， A為隨機事件， A可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。 2 樣本空間 1 隨機試驗 ? 確定性現(xiàn)象：結(jié)果確定 ? 不確定性現(xiàn)象：結(jié)果不確定 確定性現(xiàn)象 不確定性現(xiàn)象 ——確定 ——不確定 ——不確定 自然界與社會生活中的兩類現(xiàn)象 例： 向上拋出的物體會掉落到地上 明天天氣狀況 買了彩票會中獎 10 概率統(tǒng)計中研究的對象：隨機現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律 對隨機現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗統(tǒng)稱為 隨機試驗。2022/3/14 1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 2 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象 數(shù)量規(guī)律的一門學(xué)科。 3 ?第一章 概率論的基本概念 ? 隨機試驗 ? 樣本空間 ? 概率和頻率 ? 等可能概型（古典概型） ? 條件概率 ? 獨立性 ?第二章 隨機變量及其分布 ? 隨機變量 ? 離散型隨機變量及其分布 ? 隨機變量的分布函數(shù) ? 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 ? 隨機變量的函數(shù)的分布 ?第三章 多維隨機變量及其分布 ? 二維隨機變量 ? 邊緣分布 ? 條件分布 ? 相互獨立的隨機變量 ? 兩個隨機變量的函數(shù)的分布 4 ? 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 ? 數(shù)學(xué)期望 ? 方差 ? 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) ? 矩、協(xié)方差矩陣 ? 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 ? 大數(shù)定律 ? 中心極限定理 ? 第六章 數(shù)理統(tǒng)計的基本概念 ? 總體和樣本 ? 常用的分布 5 ? 第七章 參數(shù)估計 ? 參數(shù)的點估計 ? 估計量的評選標(biāo)準 ? 區(qū)間估計 ? 第八章 假設(shè)檢驗 ? 假設(shè)檢驗 ? 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗 ? 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗 ? 置信區(qū)間與假設(shè)檢驗之間的關(guān)系 ? 樣本容量的選取 ? 分布擬合檢驗 ? 秩和檢驗 ? 第九章 方差分析及回歸分析 ? 單因素試驗的方差分析 ? 雙因素試驗的方差分析 ? 一元線性回歸 ? 多元線性回歸 6 ? 第十章 隨機過程及其統(tǒng)計描述 ? 隨機過程的概念 ? 隨機過程的統(tǒng)計描述 ? 泊松過程及維納過程 ? 第十一章 馬爾可夫鏈 ? 馬爾可夫過程及其概率分布 ? 多步轉(zhuǎn)移概率的確定 ? 遍歷性 ? 第十二章 平穩(wěn)隨機過程 ? 平穩(wěn)隨機過程的概念 ? 各態(tài)歷經(jīng)性 ? 相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) ? 平穩(wěn)過程的功率譜密度 7 概 率 論 8 關(guān)鍵詞： 樣本空間 隨機事件 頻率和概率 條件概率 事件的獨立性 第一章 概率論的基本概念 9 167。 它具有以下特性： 1. 可以在相同條件下重復(fù)進行 2. 事先知道可能出現(xiàn)的結(jié)果 3. 進行試驗前并不知道哪個試驗結(jié)果會發(fā)生 例： ? 拋一枚硬幣，觀察試驗結(jié)果； ? 對某路公交車某停靠站登記下車人數(shù)； ? 對某批電子產(chǎn)品測試其輸入電壓； ? 對聽課人數(shù)進行一次登記； 11 167。 隨機事件 (一 )樣本空間 定義：隨機試驗 E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為 E的 樣本空間 ，記為 S={e}， 稱 S中的元素 e為 基本事件 或 樣本點 ． S={0,1,2,?} ； S={正面，反面 }； S={(x,y)|T0≤y ≤x≤T 1}； S={ x|a≤x≤b } ? 記錄一城市一日中發(fā)生交通事故次數(shù) 例： ? 一枚硬幣拋一次 ? 記錄某地一晝夜最高溫度 x，最低溫度 y ? 記錄一批產(chǎn)品的壽命 x 12 (二 ) 隨機事件 一般我們稱 S的子集 A為 E的 隨機事件 A，當(dāng)且僅當(dāng) A所包含的一個樣本點發(fā)生稱事件 A發(fā)生。 例： 觀察 89路公交車浙大站候車人數(shù)， 如果將 S亦視作事件，則每次試驗 S總是發(fā)生， 故又稱 S為 必然事件 。 13 (三 ) 事件的關(guān)系及運算 ? 事件的關(guān)系（包含、相等） 例： ? 記 A={明天天晴 }， B={明天無雨 } ? 記 A={至少有 10人候車 }， B={至少有 5人候車 } ? 一枚硬幣拋兩次， A={第一次是正面 }， B={至少有一次正面 } 2 ABAB BA??? ? ??＝1 A B A B? ：事件 發(fā)生一定導(dǎo)致 發(fā)生BA??BA??BA??S A B 14 ? 事件的運算 { | }A B x x A x B A B? ? ? ?或 ： 與 至少有一發(fā)生。? 當(dāng) AB=Φ時，稱事件 A與 B不相容的，或互斥的。 3 頻率與概率 (一 )頻率 定義：記 其中 —A發(fā)生的次數(shù) (頻數(shù) )； n— 總試驗次 數(shù)。 例： ? 中國國家足球隊，“沖擊亞洲”共進行了 n次，其中成功了一次，則在這 n次試驗中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為 ? 某人一共聽了 17次“概率統(tǒng)計”課，其中有 15次遲到，記 A={聽課遲到 }，則 頻率 反映了事件 A發(fā)生的頻繁程度。 。 若 , ?, 兩兩互不相容，則 20 (二 ) 概率 定義 1： 的穩(wěn)定值 p定義為 A的概率，記為 P(A)=p 定義 2：將概率視為測度，且滿足： 稱 P(A)為事件 A的 概率 。 2 ( ) 1PS ?。 若 , ?, 兩兩互不相容，則 21 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B P B A P B P A P B P A? ? ? ? ? ?，若 則有 3 ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B? ? ?概率的加法公式：1 ( ) 1 ( )P A P A??性質(zhì)： AAS? ( ) ( ) 1P A P A? ? ? ( ) 0P? ? ?B A A B? ( ) ( ) ( )P B P A P A B? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) 0P B P A P A B P B A? ? ? ? ? ?( ) ( )P B P??()A B A B A B?? ( ) ( ) ( )P A B P A P B A B? ? ? ?2 ( ) ( ) ( )B A B P B A B P B P A B? ? ? ?。 的推廣 ：1111121( ) ( ) ( )( ) ( 1 ) ( )n ni i i ji i j nini j k ni j k nP A P A P A AP A A A P A A A? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ????( ) 0( ) 1P A AP A A S? ? ? ?? ? ?不能 ；不能 ；22 167。 23 例 1：一袋中有 8個球，編號為 1－ 8，其中 1－ 3 號為紅球， 4－ 8號為黃球，設(shè)摸到每一 球的可能性相等，從中隨機摸一球， 記 A={ 摸到紅球 }，求 P(A)． 解： S={1,2,?,8} A={1,2,3} ? ? 38PA??24 例 2：從上例的袋中不放回的摸兩球， 記 A={恰是一紅一黃 }，求 P(A)． 解： 1 1 23 5 815( ) / 5 3 . 6 %28P A C C C? ? ?( ) / , 0 , 1 , ,k n k nk D N D NP A C C C k n????0LmC ?（注：當(dāng) Lm或 L0時，記 ） 例 3：有 N件產(chǎn)品，其中 D件是次品，從中不放 回的取 n件， 記 Ak＝ {恰有 k件次品 }，求 P(Ak)． 解： 25 例 4：將 n個不同的球，投入 N個不同的盒中 (n≤N )，設(shè)每一球落入各盒 的概率相同，且各盒可放的球數(shù)不限， 記 A＝ { 恰有 n個盒子各有一球 }，求 P(A)． 解： n 1 2 N ① ② …… ② 1 2 N ① ② ① 1 2 N ① ② 1 2 N …… !nNCn?? ( ) ! /nnNP A C n N? ? ?( ) 1 ! / 0 . 9 9 7nnNP A C n N? ? ? ? ? 即當(dāng) n＝ 2時，共有 N2個樣本點；一般地， n個球放入 N個盒子中，總樣本點數(shù)為 Nn，使 A發(fā)生的樣本點數(shù) 可解析為一個 64人的班上，至少有兩人在同一天過生日的概率為%． 若取 n＝ 64， N＝ 365 26 例 5：一單位有 5個員工，一星期共七天， 老板讓每位員工獨立地挑一天休息， 求不出現(xiàn)至少有 2人在同一天休息的 概率。 設(shè) { 第 k次摸到紅球 }， k＝ 1,2,?,n ．求 解 1： kA ? ()kPA① ② … n ① —— a , , , ,12 kn???? ???① ② … n ( 1 ) !()( ) !ka a b aPAa b a b??????可以是①號球，亦可以是②號球 …… 是 號球 n 號球為紅球，將 n個人也編號為 1,2,?,n ． 與 k無關(guān) 可設(shè)想將 n個球進行編號： 其中 視 的任一排列為一個樣本點，每點出現(xiàn)的概率 相等。 現(xiàn)在概率很小的事件在一次試驗中竟然發(fā)生了，因此有理由懷疑假設(shè)的正確性，從而推斷接待站不是每天都接待來訪者，即認為其接待時間是有規(guī)定的。 5 條件概率 例：有一批產(chǎn)品，其合格率為 90%，合格品中有 95%為 優(yōu)質(zhì)品，從中任取一件， 記 A={取到一件合格品 }， B={取到一件優(yōu)質(zhì)品 }。 例如： ( | ) 1 ( | )P B A P B A??( | ) ( | ) ( | ) ( | )P B C A P B A P C A P B C A? ? ?BC? ( | ) ( | )P B A P C A??( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P A P B A P B P A B? ? ? ?( ) ( ) ( | ) ( | )P A B C P A P B A P C A B?1 2 1 2 1 3 1 2 1 1( ) ( ) ( | ) ( | ) ( | )n n nP A A A P A P A A P A A A P A A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()( | )()P ABP B APA?( ) 0PA ?二、乘法公式 當(dāng)下面的條件概率都有意義時： 32 例：某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能直接出廠的概率為 70%，余下 的 30%的產(chǎn)品要調(diào)試后再定，已知調(diào)試后有 80% 的產(chǎn)品可以出廠， 20%的產(chǎn)品要報廢。