【正文】 DX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X 的方差。 DX 方差是一個(gè)常用來(lái)體現(xiàn)隨機(jī)變量 X 取值分散程度。（ 1）求落點(diǎn)到 y軸距離的概率密度和分布函數(shù)；（ 2）求落點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方的數(shù)學(xué)期望。 ),( pnB廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回??? ???其它,010,2)( iiig??? ???其它,030,9/)( 2 rrrh例 3 設(shè)一電路是電流 與電阻 是兩上相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為 )(AI )(?R試求電壓 的均值。 0,40: 2 ???? xxyG點(diǎn)，求（ 1）該點(diǎn)到 y軸距離的分布密度； （ 2）過(guò)該點(diǎn)作 y軸的平行線與 y軸 x軸及曲線 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回?cái)?shù)學(xué)期望的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) C為常數(shù)，則有 。再者，他們預(yù)測(cè)銷(xiāo)售量 Y（件）服從指數(shù)分布，其概率密度為 ???????? ?0,00,1)( /yyeyf yY??問(wèn)若要獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？ 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 5 設(shè)隨機(jī)落在曲線 與 x軸所圍閉區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的分布是均勻分布。 求隨機(jī)變量 Z的數(shù)學(xué)期望。 )1( 2 ?XE廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 2 設(shè)風(fēng)速 V在 上服從均勻分布，即具有概率密度函數(shù) 求 EW。 求隨機(jī)變量 Y的數(shù)學(xué)期望。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 2 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 上的均勻分布，求 EX。(~ EXpnBX ，試求設(shè)解： 個(gè)，則共有、的一切可能值為因 110 ?nnX ?npqpnpqpknknnpqpknknqpknknkqpknkEXnnkknknkknknkknknkknk?????????????????????????????????111111)()!()!1()!1()!()!1(!)!(!!廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為 , )(xf絕對(duì)收斂， ? ???? dxxxf )(期望 。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回 設(shè)想有這樣一種博彩游戲 ,博彩者將本金 1元壓注在 1到 6的某個(gè)數(shù)字上 ,然后擲三顆骰子 ,若所壓的數(shù)字出現(xiàn) i次 (i=1,2,3),則下注者贏 i元 ,否則沒(méi)收 1元本金 .試問(wèn)這樣的游戲規(guī)則對(duì)下注者是否公平 ? 例 6（一種博彩方式） 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回 設(shè)想有這樣一種博彩游戲 ,博彩者將本金 1元壓注在 1到 6的某個(gè)數(shù)字上 ,然后擲三顆骰子 ,若所壓的數(shù)字出現(xiàn) i次 (i=1,2,3),則下注者贏 i元 ,否則沒(méi)收 1元本金 .試問(wèn)這樣的游戲規(guī)則對(duì)下注者是否公平 ? 例 6（一種博彩方式） 解： 設(shè) X為一次下注的贏利 ,于是得 X的分布律為 216/1216/15216/75216/1253211PX ?2 1 6172 1 6132 1 61522 1 6752 1 61 2 5)1(????????? ＋＋于是 EX大致地可說(shuō)：每平均玩 216次，下注者必將輸 17元。由于參加普查的人數(shù)很多，若按傳統(tǒng)辦法一個(gè)個(gè)地檢查，非常耗時(shí)，希望尋求快捷方法。 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 3 設(shè)隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 泊松分布，求 X的數(shù)學(xué)期望。 )(XE即 ????1)(iii pxXE數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱為 期望 ，又稱為 均值 。 本章我們介紹隨機(jī)變量常用的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)和矩。 又如在比較兩個(gè)班的考試成績(jī)時(shí)，一般考慮的是兩個(gè)班的平均成績(jī)。 3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 167。廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 167。 4 矩、協(xié)方差矩陣 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回 前面我們討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性。 再比如檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既需要注意纖維的平均長(zhǎng)度，又需要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回167。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 1 設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 3101PX ?求 EX。 ?解： ，則、的一切可能值為泊松分布隨機(jī)變量 ?210X???????????????????????1110)!1(!)(kkkkkkkeekkkXkPEX ＝.??EX因此，?,2,1,0!}{ ??? ? kkekXP k ??廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 4 按規(guī)定，某車(chē)站每天 8:00~9:00， 9:00~10:00都恰有一輛客車(chē)到站，但到站的時(shí)間是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立。于是有這樣的想法：將若干個(gè)人 (如 k個(gè)人 )的血液混合后再檢查，若結(jié)果沒(méi)有問(wèn)題，就說(shuō)明這 k個(gè)人全沒(méi)問(wèn)題；若有問(wèn)題，就將這 k個(gè)人逐一檢查，以確定是誰(shuí)出了問(wèn)題。 故這一游戲規(guī)則對(duì)下注者來(lái)說(shuō)是不公平的。記為 。 ),( ba廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 3 某批電子元件的壽命服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，其密度為 ???????? ?0,00,1)( /xxexf x ???求此批電子元件的平均壽命。 （ 1） 離散型 設(shè) X的分布律為 ii pxXP ?? }{ ?,3,2,1?i若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂， ???1iii px 則有 )]([ XgEEY ? ????1)(iii pxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)隨機(jī)變量 X的密度為 , )(xf ? ???? dxxfxg )()(若積分 絕對(duì) 收斂，則有 ? ?????? dxxfxgXgEEY )()()]([廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知隨機(jī)變量 X的分布，而 )( XgY ? ，其中 g為連續(xù)函數(shù)。 又設(shè)飛機(jī)機(jī)翼受到的正壓力 W是 V的函數(shù)： ),0( a??? ???其它,00,/1)( avavf),0(2 ?? kkVW廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回二維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 已知二維隨機(jī)變量 (X,Y)的分布，而 ， ),( YXgZ ?連續(xù)函數(shù)。 （ 1） 離散型 設(shè) (X,Y)的分布律為 ijji pyYxXP ??? },{ ?,3,2,1?i則有 )],([ YXgEEZ ? ? ??????1 1),(jijjiipyxg（ 2）連續(xù)型 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合密度為 , ),( yxf 則有 其中 g為 ????1)(iii pxXE????1)()]([iii pxgXgE? ??????1 1),()],([jijjiipyxgYXgE? ????? dxxxfXE )()(? ????? dxxfxgXgE )()()]([? ????? ?????? d x d yyxfyxgYXgEEY ),(),()],([廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 1 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合概率分布為 求 EX,EY,E(XY)。以 表示落點(diǎn)的坐標(biāo)。 CEC ?性質(zhì) 2 設(shè) X為隨機(jī)變量， C為常數(shù)，則有 )()( XCECXE ?性質(zhì) 3 設(shè) X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量，則有 )()()( YEXEYXE ???性質(zhì) 4 設(shè) X,Y為兩個(gè)隨機(jī)變量， a,b為常數(shù)，則有 )()()( YbEXaEbYaXE ???性質(zhì) 5 設(shè) X,Y為兩個(gè) 相互獨(dú)立 的隨機(jī)變量，則有 )()()( YEXEXYE ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 2 空港快線載有 20位旅客從白云機(jī)場(chǎng)開(kāi)出，旅客有 10個(gè)車(chē)站可以下車(chē)。 IRV ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 4 （ 1）已知隨機(jī)變量 X服從參數(shù)為 1/2的指數(shù) 分布， 求 隨機(jī)變量 Z=3X2的數(shù)學(xué)期望 EZ。 22 xxy ??),( YX廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回167。方差越大，表示隨機(jī)變量 X的 取值分散程度越大 , 或者說(shuō)方差越小 , 表示隨機(jī)變量 X的取值越集中。 ?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 4 設(shè)隨機(jī)變量 X服從 上的均勻分布，求 DX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回方差的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) C為常數(shù)，則有 。 顯然，有 )(* ? ??? XEEX )(1 ?? ?? XE 0?)(* ? ??? XDDX )(1 2 ?? ?? XD 1?廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回例 4 設(shè)隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布 ，求 EX及 DX。 廣東工業(yè)大學(xué) 下頁(yè)上頁(yè) 返回167。 反應(yīng)隨機(jī)變量之間關(guān)系的數(shù)