【正文】 【答疑編號(hào) 12040505】 解： D（ Y） = D（ Y2） （ EY2） 例題 7. P111 【例 4－ 37】已知 D（ X） =4,D（ Y） =1,ρ XY=，求 D（ X+Y）， D（ 3X2Y）。 【答疑編號(hào) 12040501】 （ 2） 性質(zhì) ① ； 證明： ② 的充分必要條件是存在常數(shù) a， b，使 P{Y=aX+b}=1且 a≠0. （ 3）不相關(guān)定義：若相關(guān)系數(shù) ρ XY=0，則稱 X與 Y不相關(guān) . （ 4）相關(guān)系數(shù)的意義：兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是它們之間線性關(guān)系程度的度量： ，表示它們之間存在完全線性關(guān)系，即一次函數(shù)關(guān)系； ρ XY=0，表示它們之間無(wú)線性相關(guān)關(guān)系，但是，不表示它們之間不存在其他相關(guān)關(guān)系； ，表示它們之間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系 .若 ρ XY0，表示它們之間存在正線性相關(guān)關(guān)系，即上式中 a0；若 ρ XY0，表示它們之間存在負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，即上式中a0. （ 5） 兩個(gè)重要結(jié)論 ① 隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立 X與 Y不相關(guān)；反之未必 . ② 若二維隨機(jī)變量（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，則 ρ XY=ρ ，且 二維隨機(jī)變量（ X,Y）的兩個(gè)分量不相關(guān) 兩個(gè)分量相互獨(dú)立 . ρ=0. 例題 5. P109 【例 4－ 34】設(shè)隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ X）， E（ Y）， D（ X）， D（ Y）， Cov（ X， Y）， ρ XY。 可見(jiàn) Cov（ X,Y） =0是 X與 Y相互獨(dú)立的必要非充分條件。 【答疑編號(hào) 12040408】 但 f（ x,y） ≠f X（ x） 求 X與 Y的協(xié)方差 cov（ X,Y） . 【答疑編號(hào) 12040407】 （ 5） 性質(zhì) ① cov （ X,Y） =cov（ Y,X）； ② cov （ aX,bY） =abcov（ X,Y），其中 a,b為任意常數(shù)； ③ ④ 若 X與 Y相互獨(dú)立，則 cov（ X,Y） =0. 例題 3. P106 【例 4－ 31】設(shè)（ X， Y）在圓域 D={（ x,y）︱ x2+y2≤1} 上服從均勻分布。 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 本節(jié)討論二維隨機(jī)變量（ X,Y）兩個(gè)分量之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。 【答疑編號(hào) 12040405】 幾種重要隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征匯總看表 41。 【答疑編號(hào) 12040404】 例題 12. P103 【例 4－ 27】設(shè)隨機(jī)變量 X， Y相互獨(dú)立， X與 Y的方差分別為 4和 2。 （ 2）常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的方差等于該常數(shù)的平方與隨機(jī)變量方差的乘積，即 D（ CX） =C2D（ X） . （ 3）兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量之和的方差等于它們方差之和，即若 X， Y相互獨(dú)立，則 D（ X+Y） =D（ X） +D（ Y） . 這一性質(zhì)也推廣到 n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量情況：若 X1， X2， ? ， Xn，相互獨(dú)立，則 D（ X1+X2+?+X n） =D（ X1） +D（ X2） +?+ D （ Xn）。 【答疑編號(hào) 12040402】 例題 10. P102 【例 4－ 25】設(shè)（ X， Y）服從在 D上的均勻分布，其中 D由 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成，求 D（ X）。 【答疑編號(hào) 12040305】 （ 4）均勻分布 設(shè) X～ U（ a,b），即概率密度為 ， 則 . 證明： 例題 6. P 100 【例 4－ 22】設(shè)隨機(jī)變量 X服從某一區(qū)間上的均勻分布，且 E（ X） =3， D（ X） = ，求 X的概率密度函數(shù) f（ x） . 【答疑編號(hào) 12040306】 解：因?yàn)? 所以 a+b=6,（ ba） 2=4,ba=2， 解之得 b=4,a=2 所以 （ 5）指數(shù)分布 設(shè) X～ E（ λ ），即概率密度為 ， 則 . 證明： （ 6） 正態(tài)分布 設(shè) X～ N（ μ ， σ 2），即概率密度為 ， ∞x+∞ ， 則 D（ X） =σ 2. 證明： 例題 8. P101 【例 4－ 23】已知（ X， Y）的分布律為 求 E（ X）， E（ Y）， D（ X）， D（ Y）。 【答疑編號(hào) 12040303】 解： =4+4=8 例題 4. P98 【例 4－ 19】設(shè) X的概率密度為 求 D（ X）。 【答疑編號(hào) 12040301】 解： 例 【例 4－ 17】已知隨機(jī)變量 X的概率密度為 求 D（ X）。經(jīng)分析，選取離差平方和。 167。四人 射擊的命中率都為 ，求 4人射擊總得分的期望。令 X=X1+X2+?+X n，求 X的期望。 【答疑編號(hào) 12040203】 解： （ 1）二維隨機(jī)變量分量的期望 定理 4－ 3：（ 1）若（ X,Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 ，邊緣分布律為 ， ，則 ， . （ 2）若（ X,Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度與邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， fX（ x）， fY（ y），則 ， . （ 2）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望 定理 4－ 4： 設(shè) g（ x,y）為二元連續(xù)函數(shù)，對(duì)于二維隨機(jī)變量（ X,Y）的函數(shù) Z=g（ X,Y）， （ 1）若（ X,Y）為離散型隨機(jī)變量，級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則 ； （ 2）若（ X， Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，且積分 絕對(duì)收斂，則 . 例題 11. P92 【例 4－ 12】已知（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ 2X+3Y）； 【答疑編號(hào) 12040204】 （ 2） E（ XY）。 【答疑編號(hào) 12040201】 解： 例題 9. P91 【例 4－ 10】設(shè) X的概率密度為 求 。 【答疑編號(hào) 12040107】 （ 2）三種連續(xù)型隨機(jī)變量的期望 ① 均勻分布 設(shè) X～ U（ a,b）， 其概率密度為 ， 則 . 證明： ② 指數(shù)分布 設(shè) X～ E（ λ ），其概率密度為 ， 則 . 證明： ③ 正態(tài)分布 設(shè) X～ N（ μ,σ 2），其概率密度為 ， ∞x+∞ ， 則 E（ X） =μ. 證明： （ 3）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的期望 定理：設(shè) X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f（ x），又設(shè)隨機(jī)變量 Y=g（ X），若絕對(duì)收斂，則 。 【答疑編號(hào) 12040104】 解： （ 4）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 定理 4－ 1 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ?. 令 Y=g（ X），若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量 Y的數(shù)學(xué)期望為 . 例題 5. P88 【例 4－ 5】設(shè)隨機(jī)變量 X的分布律為 令 Y=2X+1，求 E（ Y） 【答疑編號(hào) 12040501】 （ 1）定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度 f（ x），若廣義積分 絕對(duì)收斂，則稱該積分為隨機(jī)變量 X的數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱期望或均值），記為 E（ X），即 . 例題 6. P89 【例 4－ 7】 設(shè) 隨機(jī)變量 X的概率密度為 求 E（ X）。5= 。 （ 3）三種離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ① 兩點(diǎn)分布 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布律為 其中 0p1，則 E（ X） =P. ② 二項(xiàng)分布 設(shè) X～ B（ n,p），即 （ i＝ 0,1， 2， ? ， n）， q=1p， 則 E（ X） =np. 證明： ③ 泊松分布 設(shè) X～ P（ λ ）其分布律為 ， i＝ 0， 1， 2， ? ， 則 E（ X） = λ. 證明： 例題 3. P88