【正文】 是兩個相互獨立的隨機變量， X在 [0,1]服從平均分布， Y的概率密度為 求（ 1）（ X， Y）的概率密度； 【答疑編號 12030305】 （ 2） P（ X+Y≤1 ）； 【答疑編號 12030306】 （ 3） P{X+Y≤3} 【答疑編號 12030307】 解：（ 1） ∵X ， Y獨立 （ 2） （ 3） 求 Z=X+Y的概率密度 設(shè)（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f（ x， y），關(guān)于 X， Y的邊緣概率 分別為 fx（ x）， fY（ y），又設(shè) X與 Y相互獨立，求 Z=X+Y的概率密度： 這就是二維連續(xù)型獨立隨機變量和的卷積公式 . 注意：教材 82頁 “F Z（ z） ” 改為 “f Z（ z） ” 例 5： P82 【例 328】設(shè) X， Y是相互獨立的隨機變量，都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布且 N（ 0， 1），求 Z=X+Y的概率密度。 【答疑編號 12030310】 答案： C 2.（ 406）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 則常數(shù) c=（ ）。 【答疑編號 12030312】 答案： 4.（ 1020）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 則 【答疑編號 12030313】 答案： 解析： 5.（ 1026）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的分布律為 試問： X與 Y是否相互獨立？為什么？ 【答疑編號 12030314】 答 案： X與 Y相互獨立 分析： Pij=Pij ，所以 X與 Y相互獨立 6.（ 426）設(shè)隨機變量 X與 Y相互獨立，且 X、 Y的分布律分別為 試求：（ 1）二維隨機變量（ X， Y）的分布律； 【答疑編號 12030315】 （ 2）隨機變量 Z=XY的分布律 . 【答疑編號 12030316】 答案： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2 Z=XY的可能取值為 0， 1， 2 第四章 隨機變量的數(shù)字特征 內(nèi)容介紹 本章主要討論隨機變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差標(biāo)準(zhǔn)差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)等 . 考點分析 2020年 4月 2020年 7月 2020年 10月 選擇題 3題 6分 3題 6分 3題 6分 填空題 2題 4分 2題 4分 1題 2分 計算題 1題 8分 1題 9分 綜合題 1題 12分 1題 12分 合計 6題 18分 7題 31分 5題 20分 內(nèi)容講解 167。 （ 2）定義：設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ?. 若級數(shù) 絕對收斂（即級數(shù) 收斂），則定義 X的數(shù)學(xué)期望（簡稱均值或期望）為. 注：（ 1）當(dāng) X的可能取值為有限多個 x1， x2， ? ， xn時， ； （ 2）當(dāng) X的可能取值為可列多個 x1， x2， ? ， xn， ? 時 . 例題 1. P87 【例 4－ 1】設(shè)隨機變量 X的分布律為 求 E（ X）。 【答疑編號 12040102】 解：分別計算 X和 Y的數(shù)學(xué)期望： E（ X） =00+1+2= （分）， E（ Y） =0+1+2=1 （分）。很明顯乙的成績遠不如甲。 【答疑編號 12040103】 解：由已知 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =np=， n=5，所以 P=247。 例題 4. P88 【例 4－ 4】已知隨機變量 X的所有可能取值為 1和 x，且 P{X=1}=， E（ X） =，求 x。 【答疑編號 12040106】 解： 例題 7. P89 【例 4－ 8】設(shè)隨機變量 X的概率密度函數(shù)為 求 E（ X）。 說明：也可以先求 Y的概率密度 fY（ y），再根據(jù)定義求 E（ Y） . 例題 8. P91 【例 4－ 9】風(fēng)速 V是一個隨機變量，設(shè)它服從 [0,a]上均勻分布，其概率密度為 又設(shè)飛機機翼受到的壓力 W是風(fēng)速 V的函數(shù)， W=kV2（ k0常數(shù)） ,求 W的數(shù)學(xué)期望。 【答疑編號 12040202】 解： 例題 10. P91 【例 4－ 11】設(shè) X～ N（ μ ， σ 2），令 Y=eX，求 E（ Y）。 【答疑編號 12040205】 解： 例題 12. P92 【例 4－ 13】設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 求：（ 1） E（ X+Y）；（ 2） E（ XY）；（ 3） P{X+Y≤1} 【答疑編號 12040206】 解： （ 1） （ 2） （ 3） 或 （ 1）常數(shù)的期望等于該常數(shù)，即 E（ C） =C， C為常數(shù)； （ 2）常數(shù)與隨機變量 X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機變量期望的乘積，即 E（ CX） =CE（ X）； （ 3）隨機變量和的期望等于隨機變量期望之和，即 E（ X+Y） =E（ X） +E（ Y）； 證明： 綜合性質(zhì)（ 2）和（ 3），則有 E（ C1X+C2Y） =C1E（ X） +C2E（ Y），其中 C1,C2為常數(shù) . 一般地， ，其中 Ci為常數(shù) . （ 4）兩個相互獨立的隨機變量的乘積的期望等于隨機變量期望的乘積，即若 X,Y為相互獨立的隨機變量，則 E（ XY） =E（ X） E（ Y） . 例題 13. P94 【例 4－ 14】設(shè) Xi（ i=1， 2， ? ， n）服從 01分布 其中 0p1， q=1p，且 X1, X2,?X n相互獨立。 【答疑編號 12040207】 解： 例題 14. P94 【例 4－ 15】 4個人進行射擊比賽，每人射 4發(fā)，在射擊時，約定某人全部不中得 0分，只中一彈得 15分，中兩彈得 30分，中三彈得 55分，中四彈得 100分。 【答疑編號 12040208】 解：設(shè) Xi（ i=1,2,3,4）表示第 i個射手的得分，則它的分布律為 即 則 Xi的期望為 用 X表示 4個射手的總得分，則 X=X1+X2+X3+X4，從而 4人射擊總得分的期望為 E（ X） =E（ X1） +E（ X2） +E（ X3） +E（ X4） =4= 。 方差 期望反映了隨機變量的集中位置，但是，不能反映隨機變量的全部性質(zhì)，我們還需了解隨機變量的其他特征，其中重要的特征是隨機變量的離散趨勢。 ① 定義：設(shè)隨機變量 X，且（ XE（ X）） 2的期望存在，則稱 E（ XE（ X）） 2為隨機變量 X 的方差，記為 D（ X），即 D（ X） =E（ XE（ X）） 2；又稱 為隨機變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差 . ② 若離散型隨機變量 X的分布律為 P（ X=xk） =pk， k＝ 1， 2， ? ，則 . ③ 若連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 f（ x），則 . 例 【例 4－ 16】設(shè)兩批纖維的長度分別為隨機變量 X1， X2，其分布律分別為 求 D（ X1）， D（ X2）。 【答疑編號 12040302】 ① 計算公式： D（ X） =E（ X2） （ E（ X）） 2. 證明： ② 若離散型隨機變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ? ，則 . ③ 若連續(xù)型隨機變量 X的概率密度為 f（ x），則 . 例 【例 4－ 18】設(shè)隨機變量 X的期望 E（ X） =2，方差 D（ X） =4，求 E（ X2）。 【答疑編號 12040304】 解： （ 1） 0－ 1分布 設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 其中 0p1， 則 D（ X） =p（ 1p） . 證明： （ 2）二項分布 設(shè) X～ B（ n,p），即 （ i＝ 1， 2， ? ， n）， q=1p， 則 D（ X） =npq. 證明： （ 3）泊松分布 設(shè) X～ P（ λ