【正文】 答疑編號 12040303】 解： =4+4=8 例題 4. P98 【例 4－ 19】設(shè) X的概率密度為 求 D（ X）。經(jīng)分析，選取離差平方和。四人 射擊的命中率都為 ，求 4人射擊總得分的期望。 【答疑編號 12040203】 解： （ 1）二維隨機(jī)變量分量的期望 定理 4－ 3：（ 1）若（ X,Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 ，邊緣分布律為 ， ，則 ， . （ 2）若（ X,Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度與邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， fX（ x）， fY（ y），則 ， . （ 2）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望 定理 4－ 4： 設(shè) g（ x,y）為二元連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機(jī)變量（ X,Y）的函數(shù) Z=g（ X,Y）， （ 1）若（ X,Y）為離散型隨機(jī)變量，級數(shù) 絕對收斂，則 ； （ 2）若（ X， Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，且積分 絕對收斂，則 . 例題 11. P92 【例 4－ 12】已知（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ 2X+3Y）； 【答疑編號 12040204】 （ 2） E（ XY）。 【答疑編號 12040107】 （ 2）三種連續(xù)型隨機(jī)變量的期望 ① 均勻分布 設(shè) X～ U（ a,b）， 其概率密度為 ， 則 . 證明： ② 指數(shù)分布 設(shè) X～ E（ λ ），其概率密度為 ， 則 . 證明： ③ 正態(tài)分布 設(shè) X～ N（ μ,σ 2），其概率密度為 ， ∞x+∞ ， 則 E（ X） =μ. 證明： （ 3）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的期望 定理：設(shè) X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f（ x），又設(shè)隨機(jī)變量 Y=g（ X），若絕對收斂，則 。5= 。 這意味著，如果進(jìn)行多次射擊，甲所得分?jǐn)?shù)的平均值接近于 ，而乙得分的平均值接近 1分。 隨機(jī)變量的期望 （ 1）期望的意義 引例： 一射手進(jìn)行打靶練習(xí)，規(guī)定射入?yún)^(qū)域 e2得 2分，射入?yún)^(qū)域 e1得 1分，脫靶即射入?yún)^(qū)域 e0，得 0分，射手每次射擊的得分?jǐn)?shù) X是一個(gè)隨機(jī)變量。 A. B. 【答疑編號 12030311】 答案： A 解析： 3.（ 417）設(shè)（ X， Y）～ N（ 0， 0， 1， 1， 0），則（ X， Y）關(guān)于Ｘ的邊緣概率密度 ＝ _____。 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 1： P80 【例 324】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 Z=X+Y的分布律。 【答疑編號 12030208】 例題 17： P76 （不相互獨(dú)立） 【例 3－ 19】設(shè)（ X,Y）在以原點(diǎn)為圓心、半徑為 1的圓域上服從均勻分布，問 X與 Y是否相互獨(dú)立？ 【答疑編號 12030209】 解： 例題 18： P77（邊緣密度確定聯(lián)合密度 ） 【例 320】設(shè) X與 Y為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量， X在 [1， 1]上服從均勻分布， Y服從參數(shù) λ=2 的指數(shù)分布，求：（ X,Y）的概率密度。 （ 2）不放回摸球情況：因?yàn)? P{X=0， Y=0}≠P{X=0} 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 用兩個(gè)隨機(jī)事件的獨(dú)立性導(dǎo)出兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性。 ② 兩種特殊區(qū)域的情況： ⅰ.D 為矩形區(qū)域 a≤x≤b ， c≤y≤d ，此時(shí) ⅱ.D 為圓形區(qū)域，如（ X,Y）在以原點(diǎn)為中心， R為半徑的圓形區(qū)域上服從均勻分布，則（ X,Y）概率密度為 例題 9： P68 【例 3－ 9】設(shè)（ X， Y）服從下列區(qū)域 D上的均勻分布，其中 D： x≥y,0≤x≤1,y≥0. 求 P{X+Y≤1} 。P{Y=1}= P{X=1， Y=0}=P{X=1} 【答疑編號 12030108】 解： X與 Y的可能值均為 1， 2， 3. （ X， Y）關(guān)于 X的邊緣分布律為： （ X， Y）關(guān) 于 Y的邊緣分布律為： 可以將（ X， Y）的分布律與邊緣分布律寫在同一張表上： 值得注意的是：對于二維離散型隨機(jī)變量（ X， Y），雖然它的聯(lián)合分布可以確定它的兩個(gè)邊緣分布，但在一般情況下，由（ X， Y）的兩個(gè)邊緣分布律是不能確定（ X， Y）的分布律的。 （ 1）定義：若二維隨機(jī)變量（ X， Y）只取有限多對或可列無窮多對（ ），（ ＝ 1， 2， ? ），則稱（ X， Y）為二維離散型隨機(jī)變量 . （ 2）分布律： ① 設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的所有可能取值為（ ），（ ＝ 1， 2， ? ），（ X， Y）的各個(gè)可能取值的概率為 ，（ ＝ 1， 2， ? ）， 稱 ，（ ＝ 1， 2， ? ）為（ X， Y）的分布律 . （ X， Y）的分布律還可以寫成如下列表形式 ② （ X， Y）分布律的性質(zhì) [1] ，（ ＝ 1， 2， ? ）； [2] 例題 2. P62 【例 3－ 2】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 a的值。第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布 內(nèi)容介紹 本章討論多維隨機(jī)變量的問題，重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量及其概率分布。 【答疑編號 12030101】 解：我們?nèi)?, = 111+0=10,不滿足第 4條性質(zhì)，所以不是。P{Y=1|X=1} = ， ， ， 所以 {X， Y}的分布律為： （ 4）邊緣分布律： ① 定義：對于離散型隨機(jī)變量（ X,Y），分量 X（或 Y）的分布律稱為（ X,Y）關(guān)于 X（或 Y）的邊緣分布律，記為 （或 ② 求法：它們可由（ X,Y）的分布律求出， ， . ③ 性質(zhì)： 例題 5. P64 【例 3－ 5】求例 34中（ X,Y）關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律。P{Y=0}= P{X=0， Y=1}=P{X=0} 【答疑編號 12030112】 解： （ 1） （ 2） （ 1） 均勻分布 ① 定義：設(shè) D為平面上的有界區(qū)域，其面積為 S且 S＞ 0，如果二維隨機(jī)變量（ X,Y）的概率密度為 則稱（ X,Y）服從區(qū)域 D上的均勻分布（或稱（ X,Y）在 D上服從均勻分布），記作（ X,Y）～ UD。 【答疑編號 12030203】 解： 解：（ X,Y）的概率密度為 由于 于是 令 則有 因?yàn)? 因而（ X,Y）關(guān)于 X的邊緣概率密度為 即 X～ N（ 0,1） , 類似可得（ X,Y）關(guān)于 Y的邊緣概率密度為 即 Y～ N（ 0,1） 例題 12. P71 【例 3－ 13】設(shè)（ X,Y）的概率密度為 求 【答疑編號 12030204】 解： 167。 【答疑編號 12030206】 解（ 1）有放回摸球情況：因?yàn)? 所以 X與 Y相互獨(dú)立。 【答疑編號 12030207】 解： 設(shè)（ X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量，其概率密度及關(guān)于 X和 Y的邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， 和 則 X與 Y相互獨(dú)立的充分必要條件是等式 幾乎處處成立 . 例題 16： P75（相互獨(dú)立） 【例 3－ 17】證明 38中的 X與 Y相互獨(dú)立。 【答疑編號 12030211】 解： 167。 【答疑編號 12030310】 答案： C 2.（ 406）設(shè)二維隨機(jī)變量（ X， Y）的概率密度為 則常數(shù) c=（ ）。j ，所以 X與 Y相互獨(dú)立 6.（ 426）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且 X、 Y的分布律分別為 試求：（ 1）二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律； 【答疑編號 12030315】 （