【正文】 所以 （ 5）指數(shù)分布 設(shè) X～ E（ λ ），即概率密度為 ， 則 . 證明： （ 6） 正態(tài)分布 設(shè) X～ N（ μ ， σ 2），即概率密度為 ， ∞x+∞ ， 則 D（ X） =σ 2. 證明： 例題 8. P101 【例 4－ 23】已知（ X， Y）的分布律為 求 E（ X）， E（ Y）， D（ X）， D（ Y）。 167。 【答疑編號 12040201】 解： 例題 9. P91 【例 4－ 10】設(shè) X的概率密度為 求 。 （ 3）三種離散型隨機變量的數(shù)學期望 ① 兩點分布 設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 其中 0p1，則 E（ X） =P. ② 二項分布 設(shè) X～ B（ n,p），即 （ i＝ 0,1， 2， ? ， n）， q=1p， 則 E（ X） =np. 證明： ③ 泊松分布 設(shè) X～ P（ λ ）其分布律為 ， i＝ 0， 1， 2， ? ， 則 E（ X） = λ. 證明： 例題 3. P88 【例 4－ 3】設(shè)隨機變量 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =，求參數(shù) p。 P設(shè) 1＜ a＜ 3,若事件求常數(shù) a的值。 【答疑編號 12030205】 證明： 設(shè)（ X,Y）為二維離散型隨機變量，其分布律為 其邊緣分布律為 X與 Y相互獨立的充分必要條件是，對一切 i， j有 反之，只要有一對（ i， j）使上式不成立， X與 Y就不相互獨立 . 例題 14： P74 【例 315】判斷 36中 X與 Y是否相互獨立。P{Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 （ 2）不放回摸球情況： 類似地有 P{X=0， Y=1}= P{X=1， Y=0}= P{X=1， Y=1}= 則（ X， Y）的分布律與邊緣分布律為 型隨機變量的概率密度 （ 1）設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的分布函數(shù)為 F（ x,y），若存在非負可積函數(shù) ，使得對任意實數(shù) x， y，有 ， 則稱（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機變量；并稱 為（ X， Y）的概率密度或 X與 Y的聯(lián)合密度函數(shù) . （ 2）概率密度 的性質(zhì)： ① 非負； ② ； ③ 若 在 處連續(xù)，則有 ； ④ . 例題 7. P67 【例 3－ 7】設(shè)（ X， Y）的概率密度為 求（ X， Y）的分布函數(shù) F（ x,y） . 【答疑編號 12030110】 解： 例題 8. P67 【例 3－ 8】設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的 分布函數(shù)為 F（ x,y） =a（ b+arctanx）（ c+arctan2y）， ∞x+∞ ， ∞y+∞. 求：（ 1）常數(shù) a,b,c； 【答疑編號 12030111】 （ 2）（ X， Y）的概率密度。 【答疑編號 12030107】 解： P{X=1， Y=1} =P{X=1} 考點分析 選擇題 1題 2分 2題 2分 1題 2分 填空題 2題 4分 1題 2分 2題 4分 計算題 1題 8分 1題 8分 1題 8分 綜合題 1題 4分 合計 4題 14分 5題 16分 4題 14分 內(nèi)容講解 167。 例題 6. P65 【例 36】設(shè)盒中有 2個紅球 3個白球，從中每次任取一球，連續(xù)取兩次，記 X， Y分別表示第一次與第二次取出的紅球個數(shù)，分別對有放回摸球與不放回摸球兩種情況求出（ X， Y）的分布律與邊緣分布律。 【答疑編號 12030201】 解： 解：根據(jù)上圖， D的面積 ，所以（ X， Y）的概率密度為 事件 {X+Y≤1} 意味著隨機點（ X， Y）落在區(qū)域 上，則 （ 2）正態(tài)分布 ① 定義：若二維隨機變量（ X， Y）概率密度為 [1]其中 都是常數(shù)，且 則稱（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，記為 [2]三維空間的曲面。P{Y=0} ， 所以 X與 Y不相互獨立。 【答疑編號 12030301】 解： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2， 3， 因為事件｛ Z=0｝ =｛ X=0， Y=0｝， 所以 因為事件 {Z=1}={X=0， Y=1}∪{X=1 ， Y=0}，事件 {X=0， Y=1}與 {X=1， Y=0}互不相容，所以 事件 P{Z=2}={X=0， Y=2}∪{X=1 ， Y=1}，事件 {X=0， Y=2}與 {X=1， Y=1}互不相容，所以 事件｛ Z=3｝ =｛ X=1， Y=2｝， 所以 從而得出 Z的分布律為 例 【例 325】設(shè) X,Y是相互獨立的隨機變量，且 證明 Z=X+Y～ 【答疑編號 12030302】 例題 3： P81 【例 326】 接例題 324，求： （ 1） Z=XY的分布律； 【答疑編號 12030303】 （ 2） P{X=Y}. 【答疑編號 12030304】 解（ 1） Z的可能值為 0， 1， 2. 由于 {Z=0}={X=0,Y=0}∪{X=1,Y=0}∪{X=0,Y=1}∪{X=0,Y=2}, 所以 同理 則 Z=XY的分布律為 （ 2） P{X=Y}=P{XY=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1} 兩個獨立連續(xù)型隨機變量之和的概率分布 例 4： P81 【例 327】設(shè) X與 Y是兩個相互獨立的隨機變量， X在 [0,1]服從平均分布， Y的概率密度為 求（ 1）（ X， Y）的概率密度； 【答疑編號 12030305】 （ 2） P（ X+Y≤1 ）； 【答疑編號 12030306】 （ 3） P{X+Y≤3} 【答疑編號 12030307】 解：（ 1） ∵X ， Y獨立 （ 2） （ 3） 求 Z=X+Y的概率密度 設(shè)（ X， Y）為二維連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為 f（ x， y），關(guān)于 X， Y的邊緣概率 分別為 fx（ x）， fY（ y），又設(shè) X與 Y相互獨立，求 Z=X+Y的概率密度： 這就是二維連續(xù)型獨立隨機變量和的卷積公式 . 注意：教材 82頁 “F Z（ z） ” 改為 “f Z（ z） ” 例 5： P82 【例 328】設(shè) X， Y是相互獨立的隨機變量，都服從標準正態(tài)分布且 N（ 0， 1），求 Z=X+Y的概率密度。 （ 2）定義：設(shè)離散型隨機變量 X的分布律為 P{X=xk}=pk， k＝ 1， 2， ?. 若級數(shù) 絕對收斂（即級數(shù) 收斂），則定義 X的數(shù)學期望（簡稱均值或期望）為. 注：（ 1）當 X的可能取值為有限多個 x1， x2， ? ， xn時， ； （ 2）當 X的可能取值為可列多個 x1， x2， ? ， xn， ? 時 . 例題 1. P87 【例 4－ 1】設(shè)隨機變量 X的分布律為 求 E（ X）。 例題 4. P88 【例 4－ 4】已知隨機變量 X的所有可能取值為 1和 x，且 P{X=1}=， E（ X） =，求 x。 【答疑編號 12040205】 解： 例題 12. P92 【例 4－ 13】設(shè)二維隨機變量（ X， Y）的概率密度為 求：（ 1） E（ X+Y）；（ 2） E（ XY）；（ 3） P{X+Y≤1} 【答疑編號 12040206】 解： （ 1） （ 2） （ 3） 或 （ 1）常數(shù)的期望等于該常數(shù)，即 E（ C） =C， C為常數(shù)； （ 2）常數(shù)與隨機變量 X乘積的期望等于該常數(shù)與隨機變