【正文】 （ 1） 定義 ：若 D（ X） 0， D（ Y） 0，稱 為 X與 Y的相關(guān)系數(shù)，記為 ， 即 . 例題 4. P107 【例 4－ 33】接例 431，求（ X， Y）的相關(guān)系數(shù) ρ XY。（ p104） 167。 【答疑編號 12040401】 例題 9. P102 【例 4－ 24】設(shè)（ X， Y）的概率密度為 求 E（ X）， E（ Y）， D（ X）， D（ Y）。 方差 期望反映了隨機(jī)變量的集中位置，但是，不能反映隨機(jī)變量的全部性質(zhì)，我們還需了解隨機(jī)變量的其他特征，其中重要的特征是隨機(jī)變量的離散趨勢。 【答疑編號 12040202】 解： 例題 10. P91 【例 4－ 11】設(shè) X～ N（ μ ， σ 2），令 Y=eX，求 E（ Y）。 【答疑編號 12040103】 解：由已知 X～ B（ 5， p），因此 E（ X） =np=， n=5，所以 P=247。j ，所以 X與 Y相互獨(dú)立 6.（ 426）設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立，且 X、 Y的分布律分別為 試求：（ 1）二維隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律； 【答疑編號 12030315】 （ 2）隨機(jī)變量 Z=XY的分布律 . 【答疑編號 12030316】 答案： Z=X+Y的可能取值為 0， 1， 2 Z=XY的可能取值為 0， 1， 2 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 內(nèi)容介紹 本章主要討論隨機(jī)變量的數(shù)字特征：數(shù)學(xué)期望，方差標(biāo)準(zhǔn)差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)等 . 考點(diǎn)分析 2020年 4月 2020年 7月 2020年 10月 選擇題 3題 6分 3題 6分 3題 6分 填空題 2題 4分 2題 4分 1題 2分 計(jì)算題 1題 8分 1題 9分 綜合題 1題 12分 1題 12分 合計(jì) 6題 18分 7題 31分 5題 20分 內(nèi)容講解 167。 【答疑編號 12030211】 解： 167。 【答疑編號 12030206】 解（ 1）有放回摸球情況：因?yàn)? 所以 X與 Y相互獨(dú)立。 【答疑編號 12030112】 解： （ 1） （ 2） （ 1） 均勻分布 ① 定義：設(shè) D為平面上的有界區(qū)域，其面積為 S且 S＞ 0，如果二維隨機(jī)變量（ X,Y）的概率密度為 則稱（ X,Y）服從區(qū)域 D上的均勻分布（或稱（ X,Y）在 D上服從均勻分布），記作（ X,Y）～ UD。P{Y=1|X=1} = ， ， ， 所以 {X， Y}的分布律為： （ 4）邊緣分布律： ① 定義：對于離散型隨機(jī)變量（ X,Y），分量 X（或 Y）的分布律稱為（ X,Y）關(guān)于 X（或 Y）的邊緣分布律，記為 （或 ② 求法：它們可由（ X,Y）的分布律求出， ， . ③ 性質(zhì)： 例題 5. P64 【例 3－ 5】求例 34中（ X,Y）關(guān)于 X和 Y的邊緣分布律。第三章 多維隨機(jī)變量及其概率分布 內(nèi)容介紹 本章討論多維隨機(jī)變量的問題，重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量及其概率分布。 【答疑編號 12030108】 解： X與 Y的可能值均為 1， 2， 3. （ X， Y）關(guān)于 X的邊緣分布律為： （ X， Y）關(guān) 于 Y的邊緣分布律為： 可以將（ X， Y）的分布律與邊緣分布律寫在同一張表上： 值得注意的是：對于二維離散型隨機(jī)變量（ X， Y），雖然它的聯(lián)合分布可以確定它的兩個(gè)邊緣分布，但在一般情況下，由（ X， Y）的兩個(gè)邊緣分布律是不能確定（ X， Y）的分布律的。 ② 兩種特殊區(qū)域的情況： ⅰ.D 為矩形區(qū)域 a≤x≤b ， c≤y≤d ，此時(shí) ⅱ.D 為圓形區(qū)域，如（ X,Y）在以原點(diǎn)為中心， R為半徑的圓形區(qū)域上服從均勻分布，則（ X,Y）概率密度為 例題 9： P68 【例 3－ 9】設(shè)（ X， Y）服從下列區(qū)域 D上的均勻分布，其中 D： x≥y,0≤x≤1,y≥0. 求 P{X+Y≤1} 。 （ 2）不放回摸球情況：因?yàn)? P{X=0， Y=0}≠P{X=0} 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 例 1： P80 【例 324】設(shè)（ X,Y）的分布律為 求 Z=X+Y的分布律。 隨機(jī)變量的期望 （ 1）期望的意義 引例： 一射手進(jìn)行打靶練習(xí)，規(guī)定射入?yún)^(qū)域 e2得 2分，射入?yún)^(qū)域 e1得 1分，脫靶即射入?yún)^(qū)域 e0，得 0分，射手每次射擊的得分?jǐn)?shù) X是一個(gè)隨機(jī)變量。5= 。 【答疑編號 12040203】 解： （ 1）二維隨機(jī)變量分量的期望 定理 4－ 3：（ 1）若（ X,Y）為離散型隨機(jī)變量，其分布律為 ，邊緣分布律為 ， ，則 ， . （ 2）若（ X,Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度與邊緣概率密度分別為 f（ x,y）， fX（ x）， fY（ y），則 ， . （ 2）二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望 定理 4－ 4： 設(shè) g（ x,y）為二元連續(xù)函數(shù)，對于二維隨機(jī)變量（ X,Y）的函數(shù) Z=g（ X,Y）， （ 1）若（ X,Y）為離散型隨機(jī)變量，級數(shù) 絕對收斂，則 ； （ 2）若（ X， Y）為連續(xù)型隨機(jī)變量，且積分 絕對收斂，則 . 例題 11. P92 【例 4－ 12】已知（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ 2X+3Y）； 【答疑編號 12040204】 （ 2） E（ XY）。經(jīng)分析，選取離差平方和。 【答疑編號 12040402】 例題 10. P102 【例 4－ 25】設(shè)（ X， Y）服從在 D上的均勻分布，其中 D由 x軸、 y軸及 x+y=1所圍成，求 D（ X）。 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 本節(jié)討論二維隨機(jī)變量（ X,Y）兩個(gè)分量之間相互關(guān)系的數(shù)字特征。 【答疑編號 12040501】 （ 2） 性質(zhì) ① ； 證明： ② 的充分必要條件是存在常數(shù) a， b，使 P{Y=aX+b}=1且 a≠0. （ 3）不相關(guān)定義：若相關(guān)系數(shù) ρ XY=0，則稱 X與 Y不相關(guān) . （ 4）相關(guān)系數(shù)的意義：兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)是它們之間線性關(guān)系程度的度量： ，表示它們之間存在完全線性關(guān)系，即一次函數(shù)關(guān)系； ρ XY=0，表示它們之間無線性相關(guān)關(guān)系，但是，不表示它們之間不存在其他相關(guān)關(guān)系； ，表示它們之間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系 .若 ρ XY0，表示它們之間存在正線性相關(guān)關(guān)系，即上式中 a0；若 ρ XY0，表示它們之間存在負(fù)線性相關(guān)關(guān)系，即上式中a0. （ 5） 兩個(gè)重要結(jié)論 ① 隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立 X與 Y不相關(guān)；反之未必 . ② 若二維隨機(jī)變量（ X,Y）服從二維正態(tài)分布，則 ρ XY=ρ ，且 二維隨機(jī)變量（ X,Y）的兩個(gè)分量不相關(guān) 兩個(gè)分量相互獨(dú)立 . ρ=0. 例題 5. P109 【例 4－ 34】設(shè)隨機(jī)變量（ X， Y）的分布律為 求：（ 1） E（ X）， E（ Y）， D（ X）， D（ Y）， Cov（ X， Y）， ρ XY。 可見 Cov（ X,Y） =0是 X與 Y相互獨(dú)立的必要非充分條件。 【答疑編號 12040405】 幾種重要隨機(jī)變量的分布及其數(shù)字特征匯總看表 41。 【答疑編號 12040305】 （ 4）均勻分布 設(shè) X～ U（ a,b），即概率密度為 ， 則 . 證明： 例題 6. P 100 【例 4－ 22】設(shè)隨機(jī)變量 X服從某一區(qū)間上的均勻分布，且 E（ X） =3， D（ X） = ，求 X的概率密度函數(shù) f（ x） . 【答疑編號 12040306】 解：因?yàn)? 所以 a+b=6,（ ba） 2=4,ba=2， 解之得 b=4,a=2