概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)多維隨機(jī)變量及其分布(編輯修改稿)
2024-09-25 11:53 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 具有所謂的“獨(dú)立性” , 我們引入如下定 義 . 定義 設(shè)隨機(jī)變量 ),( YX 的聯(lián)合分布函數(shù)為 ),( yxF , 邊緣分布函數(shù)為 )(xFX , )(yFY , 若對(duì)任意實(shí)數(shù) yx, ,有 },{}{},{ yYPxXPyYxXP ????? 即 ),()(),( yFxFyxF YX? 則稱隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨(dú)立 . 關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性 , 有下列兩個(gè)定理 . 定理 1 隨機(jī)變量 X 與 Y 相互獨(dú)立的充要條件是 X 所生成的任何事件與 Y 生成的任何事件獨(dú)立 , 即 , 對(duì)任意實(shí)數(shù)集 BA, , 有 },{}{},{ BYPAXPBYAXP ????? 定理 2 如果隨機(jī)變 量 X 與 Y 相互獨(dú)立 , 則對(duì)任意函數(shù) ),(1xg )(2yg 均有 )(),( 21 YgXg 相互獨(dú)立 . 三、離散型隨機(jī)變量的條件分布與獨(dú)立性 設(shè) ),( YX 是二維離散型隨機(jī)變量 , 其概率分布為 ?,2,1,},{ ???? jipyYxXP ijji 則由條件概率公式 , 當(dāng) 0}{ ?? jyYP , 有 ?,2,1,}{ },{}|{ ??? ????? ? ippyYP yYxXPyYxXP jijj jiji 稱其為在 jyY? 條件下隨機(jī)變量 X 的 條件概率分布 . 對(duì)離散型隨機(jī)變量 ),( YX , 其獨(dú)立性的定義等價(jià)于 : 若對(duì) ),( YX 的所有可能取值 ),( ji xx 有 }{}{},{ jiji yYPxXPyYxXP ????? 即 ?,2,1, ?? ?? jippp jiij 則稱 X 和 Y 相互獨(dú)立 . 四、 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性 定義 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ),( YX 的概率密度為 ),( yxf ,邊緣概率密度為)(),( yfxf YX , 則對(duì)一切使 0)( ?xfX 的 x , 定義 在 xX? 的條件下 Y 的條件概率密度為 )( ),()|(| xf yxfxyf XXY ?. 類似地 , 對(duì)一切使 0)( ?yfY 的 y , 定義在 yY? 的條件下 X 的條件密度函數(shù)為 )( ),()|(| yf yxfyxf YYX ?. 注 : 關(guān)于定義表達(dá)式內(nèi)涵的解釋 . 以 )( ),()|(| yf yxfyxf YYX ? 為例 . 在上式左邊乘以 dx , 右邊乘以 dydxdy /)( 即得 }{ },{)( ),()|(| dyyYyP dyyYydxxXxPdyyf d x d yyxfdxyxf YYX ??? ???????? }.|{ dyyYydxxXxP ??????? 換句話說(shuō) , 對(duì)很小的 dx 和 dy , dxyxf YX )|(| 表示已知 Y 取值于 y 和 dyy? 之間的條件下 , X 取值于 x 和 dxx? 之間的條件概率 . 對(duì)二維連續(xù)型隨機(jī)變量 ),( YX , 其獨(dú)立性的定義等價(jià)于 : 若對(duì)任意的 yx, , 有 )()(),( yfxfyxf YX? 幾乎處處成立 , 則稱 YX, 相互獨(dú)立 . 注 : 這里“幾乎處處成立”的含義是 :在平面上除去面積為 0的集合外 ,處處成立 . 例題選講： 條件分布的概念 例 1 (講義例 1) 設(shè) X 服從 ]1,0[ 上的均勻分布 , 求在已知 21?X 的條件下 X 的條件分布函數(shù) . 隨機(jī)變量的獨(dú)立性 例 2 (講義例 2) 設(shè) X 與 Y 的聯(lián)合概率分布為 (1) 求 0?Y 時(shí) , X 的條件概率分布以及 0?X 時(shí) , Y 的條件概率分布 。 (2)判斷 X 與 Y 是否相互獨(dú)立 ? 例 3 (講義例 3) 設(shè)隨機(jī)變量 X與 Y相互獨(dú)立 , 下表列出了二維隨機(jī)變量 ),( YX 聯(lián)合分布律及關(guān)于 X和關(guān)于 Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值 , 試將其余數(shù)值填入表中的空白處 . Y X 1y 2y 3y ii PxXP ?? }{ 1x 1/8 2x 1/8 jj pyyP ?? }{ 1/6 1 例 4 (講義例 4) 一射手進(jìn)行射擊 ,擊中目標(biāo)的概率為 )10(, ??pp , 射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止 . 以 X 表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行射擊次數(shù) , 以 Y 表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù) . 試求X 和 Y 的聯(lián)合分布及條件分布 . 連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性 例 5 (講義例 5)設(shè) ),( YX 的概率密度為 ????? ?????其它,0 0,0,),()( yxxeyxf yx 。 問(wèn) X 和 Y 是否獨(dú)立 ? 例 6 設(shè) ),( YX 服從單位圓上的均勻分布，概率密度為 ??? ??? .,0 1,/1),( 22 其它 ，yxyxf ? 求 ).|(| xyf XY 例 7 (講義例 7)設(shè) ),。,。,(~),( 212221 ?????NYX (1) 求 )|(| yxf YX 和 )|(| xyf XY . (2) 證明 X 與 Y 相互獨(dú)立的充要條件是 0?? . 例 8 (講義例 6)甲乙兩人約定中午 12 時(shí) 30 分在某地會(huì)面 . 如果甲來(lái)到的時(shí)間在 12:15到 12:45 之間是均勻分布 . 乙獨(dú)立地到達(dá) , 而且到達(dá)時(shí)間在 12:00 到 13:00 之間是均勻分布 . 試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò) 5分鐘的概率 . 又甲先到的概率是多少 ? 例 9 設(shè)數(shù) X 在區(qū)間 )1,0( 均勻分布，當(dāng)觀察到 )10( ??? xxX 時(shí)，數(shù) Y 在區(qū)間 )1,(x 上等可能隨機(jī)地取值 .求 Y 的概率密度 . 例 10 設(shè)店主在每日開門營(yíng)業(yè)時(shí)，放在柜臺(tái)上的貨物量為 Y ，當(dāng)日銷售量為 X 假定一天中不再上柜臺(tái)上補(bǔ)充貨物，于是 YX? . 根據(jù)歷史資料， ),( YX 的概率密度函數(shù)為 Y X 1? 0 2 0 0 1 2 0 ???
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