若連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度函數(shù)為【精選-ppt】-文庫(kù)吧資料
2025-01-26 11:26本頁(yè)面
【正文】 ? ? ? ? ?? e.1)(,)( ayha byyhx ?????? 且例 4(P72例 27) 設(shè)隨機(jī)變量 X～ N(?, ? 2 ), 顯然 y = g(x) = a x+b可導(dǎo)且 g ?=a 保號(hào) Y=aX+b 的概率密度為 ???????? ya byfayf XY ,)(|| 1)(由定理知 ∴ Y = aX + b ～ (a ? + b , (|a|? )2 ) 22()21()|| 2y baYfy a??? ?? ??? e即 注 取 , ，??? ??? ba ,1① 驗(yàn)證函數(shù)可導(dǎo)且單調(diào) ② 求反函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) ④ 代入定理公式即得函數(shù)的密度 注意取絕對(duì)值 .)1,0(NXY ? ???有 ～ ,)(,)( ?????????? gg? ,),( ?????? y ③ 確定 y的取值范圍 ????? ??????? 。0,)()(2 1 ??? yyfyfy XX(P70 例 26) 從上述兩例中可看到，在求 P{ Y ? y }的過(guò)程中 , 關(guān)鍵是 第一步 中 : 設(shè)法從 { g(X) ? y }中解出 X, 從而得到與 { g(X) ? y }等價(jià)的關(guān)于 X 的不等式 . 用 代替 { X 2 ? y } }{ yXy ??? 即利用已知的 X 的分布 ,求出 X 的函數(shù)的分布 用 代替 { 2 X + 8 ? y } }28{ yX ??求 連續(xù)型 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布的常用方法 如例 2中 , 如例 3中 , 定理 則 Y = g(X) 是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 ,其概率密度為 又 y = g(x) 處處可導(dǎo) ,且有 g? (x)0 (或恒有 g? (x)0), ??? ?????其它,0,|)(|)]([)( ?? yyhyhfyf XY[ ( ) ] [ ( ) ] ,(),0XYf h y h y yfy ???? ? ??? ?? 其 它類(lèi)似可證 g? (x)0 時(shí) , })(),(m a x {})(),(m i n {??????????gggg??定理的證明與前面的解題思路完全類(lèi)似 . 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 具有概率 密度 fX(x), 定理 (P71 ) 下面求 Y 的分布函數(shù) FY(y): 證 ,0)( ?? xg設(shè) ),()( ?????? xg 存在，)( yh? .),()( 導(dǎo)可、???yh由于 ,),()( ???? XgY。 解 設(shè) Y 和 X 的分布函數(shù)分別為 FY ( y) 和 FX (x)， ,)()( yFyF XX ???例 3 221() ,2xXfx ? ??若 e????? x則 Y=X 2 的概率密度為 21 , 0 。5/101/101/1 ??? 若 g(xk)中有相等值 , 則 FY ( y ) = P(Y ? y) 解 設(shè) Y 的分布函數(shù)為 FY ( y )， 例 2(P69 例 25) 設(shè) X 具有概率密度 ??? ???其它,040,8/)( xxxfX求 Y = 2X + 8 的概率密度 . )28( yXP ??? 于是 Y 的概率密度為 ydyFdyf YY)()( ?二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 注意到 0 x 4 時(shí)， ,0)( ?xf X即 0 y 8 時(shí)， ,0)28( ?? yf X此時(shí) ,168)28( yyf X ???????? ?????.,0。5/2)0()0( ???? XPYP)1()1()1( ?????? XPXPYP。5/1?；5/1)1()3( ???? XPYP。10/1?求 Y=2X+1,Y=X 2 的分布列 . X ? Y=X 2 2 ? 4 1 ? 1 0 ? 0 1 ? 1 2 ? 4 。 可以證明，如果 n 很大，而 p 不接近于 0 或 1 時(shí)， 二項(xiàng)分布近似于正態(tài)分布 . 例 9 公共汽車(chē)車(chē)門(mén)高度是按男子與車(chē)門(mén)頂頭碰頭機(jī)會(huì)在 下來(lái)設(shè)計(jì)的 . 問(wèn)門(mén)高度應(yīng)如何確定 ? 解 設(shè)車(chē)門(mén)高度為 h cm, 按設(shè)計(jì)要求應(yīng)有 P(X≥h)≤ 或 P(Xh)≥ ， 下面求滿(mǎn)足上式的最小 h： 若男子身高 X～ N(170, 62), ∵ X～ N(170,62), ，)1,0(~6 170 NX ??)61 7 0()( ???? hhXP ?即查表得 ?(2. 33) = 0. 9901 0. 99 ， , ??? h? h=170+ ? 184 . 設(shè)計(jì)車(chē)門(mén)高度為 184mm時(shí)，可使男子與車(chē)門(mén)頂碰頭機(jī)會(huì)不超過(guò) . 若 X～ N( ? , ? 2 )時(shí)， 要求滿(mǎn)足 P(X x0)= p 的 x0 ： P(X x0)= p ?? px ??? 1)( 0? ?? ?? ? ?????????? 0x反查正態(tài)分布表 ??? ???? 0x 如果某考生得 48分 , 求有多少考生名列該考生之前 ? 已知 1987年全國(guó)普通高校統(tǒng)考物理成績(jī) X?N(42,36), 這表明有 16% 的考生成績(jī)超過(guò) 48分， 例 10 (確定 超前百分位數(shù) 、排定名次 ) 解 由條件知即求 P(X 48)， )6 4248(1)48( ???? ?XP查表可知 ,)1( ?? ,)48( ??? XP即 84% 的考生名列該考生之后 . = 1 ?(1), 即成績(jī)高于甲的人數(shù)應(yīng)占考生 的 %, 對(duì)于錄取考試人們最關(guān)心的是 ① 自己能否達(dá)到錄取分?jǐn)?shù)線？ ② 自己的名次？ 某公司招工 300名 (正式工 280,臨時(shí)工 20名 ), 例 11(預(yù)測(cè)錄取分?jǐn)?shù)和考生名次 ) 解 ,2 ），（則 ??NX? )166360(1 ?? ???166, ∴ X ? N(166,932)， (1)(預(yù)測(cè)分?jǐn)?shù)線 ) 考生甲得256分 ,問(wèn)他能否被錄用？如錄用能否被錄為正式工？ 考后由媒體得知：考試總平均成績(jī)?yōu)?166分 , 360分以上的高分考生有 31人 . 有 1657人參加考試 ,考試滿(mǎn)分為 400分 . , 636 0 ????? ??高于
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