兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布(編輯修改稿)
2025-06-18 01:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 hyhyhyhyyJ即 J (y1,y2)對于在變換的值域中的 (y1,y2)是不為 0的 . 例 6 設(shè) (X1,X2)具有密度函數(shù) f (x1,x2). 令 Y1= X1+X2， Y2= X1X2 試用 f 表示 Y1和 Y2的聯(lián)合密度函數(shù) . 故由 (*)式 ,所求密度函數(shù)為 解 : 令 y1= x1+x2, y2= x1x2，則逆變換為 ,2 211 yyx ?? ,2212yyx ??02/12/12/12/12/1),( 21 ?????yyJ)2,2(21),( 212121 yyyyfyyw ??? 有時，我們所求的只是一個函數(shù)Z= g(X,Y)的分布 . 一個辦法是： 對任意 z, 找出 {Z≤ z}在 (x,y)平面上對應(yīng)的區(qū)域 {g(X,Y) ≤ z}，記為 D. 求出 Z的分布函數(shù) . 然后由 ,),()( ????Dd x d yyxfzZP=X/Y的分布 x y x=yz G1 G2 )()()( zYXPzZPzF Z ????????zyxd xd yyxf/),(,/0 yzxzyxy ???? 時，當(dāng) ，區(qū)域 1G?,/0 yzxzyxy ???? 時，當(dāng) ，區(qū)域 2G??? ????1 2),(),()(G GZ d x d yyxfd x d yyxfzF? ?? ? ?? ???? ?? ?? 00 ),(),( yzyz dxyxfdydxyxfdy? ?? ? ?? ???? ??? ?? 00 ),(),( zzuyx duyuyfy d yduyuyfy d y? ?? ? ?? ???? ??? ?? 00 ),(),( zzuyx duyuyfy d yduyuyfy d y? ?? ? ?? ???? ?? ?? zz dyyuyyfdudyyuyyfdu 00 ),(),(dudyyuyyfdyyuyyfz ]),(),([ 00 ?? ? ???? ?? ??dudyyuyfydyyuyfyz ]),(),([ 00 ?? ? ???? ?? ??dudyyuyfyz ]),([? ??? ?????.),()( ? ????? dyyzyfyzf Z所以 當(dāng) X與 Y獨立時，有 .)()()( ? ????? dyyfzyfyzf YXZ例 設(shè) X和 Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密度為 ????????1000,01000,1000)( 2xxxxf求 Z=X/Y的概率密度。 解 .)()()( ? ????? dyyfzyfyzf YXZ因為 ???????????1 0 0 001 0 0 01 0 0 0yzyyz,1 0 0 01 0 0 01 0 0 01 ???????? yyyzz 時，當(dāng),1 0 0 01 0 0 01 0 0 010 ????????? yzyyzz 時，當(dāng),1 0 0 01 0 0 01 0 0 01 ???????? yyyzz 時，當(dāng)所以 ? ????? dyyfzyfyzf YXZ )()()(??????????????????????????1 0 0 02222/1 0 0 02221,2110 0010 0010,2110 0010 000,0zzdyyzyyzdyyzyyzz M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布 設(shè) X， Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為 FX(x)和 FY(y),我們來求 M=max(X,Y)及 N=min(X,Y)的分布函數(shù) . 又由于 X和 Y 相互獨立 ,于是得到 M=max(X,Y)的分布函數(shù)為 : 即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z)P(Y≤z) =P(X≤z,Y≤z) 由于 M=max(X,Y)不大于 z等價于 X和 Y都不大于 z，故有 分析： P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z) 類似地，可得 N=min(X,Y)的分布函數(shù)是 下面進(jìn)行推廣 即有 FN(z)= 1[1FX(z)][1FY(z)] =1P(Xz,Yz) FN(z)=P(N≤z) =1P(Nz) =1 P(Xz)P(Yz) 設(shè) X1,…, Xn是 n個相互獨立的隨機(jī)變量 ,它們的分布函數(shù)分別為 我們來求 M=max(X1,…, Xn)和N=min(X1,…, Xn)的分布函數(shù) . )( xF iX(i =0,
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