【正文】 0 , 0Y ( ) , 0 11 , 1xX F x x xx???? ? ??? ??解 ： 、 的 分 布 函 數220 , 0( ) [ ( ) ] , 0 1 ,1 , 1MxF x F x x xx???? ? ? ??? ??220 , 0( ) 1 [ 1 ( )] 1 ( 1 ) , 0 1 ,1 , 1NxF x F x x xx???? ? ? ? ? ? ? ??? ??2 , 0 1()0,Mxxfx ???? ?? 其 它2 ( 1 ) , 0 1()0,Nxxfx ? ? ??? ?? 其 它69 例 7：設系統 L由兩個相互獨立的子系統 L1,L2聯結而成，聯 結的方式分別為： (1)串聯； (2)并聯； (3)備用 (當系統 L1損壞時，系統 L2開始工作 )。 Z X Y??( ) ( ) ( )Z X Yf z f x f z x d x???????221 1 2 2~ ( , ) , ~ ( , )X N Y N? ? ? ?221 2 1 2 ~ ( , )Z X Y N ? ? ? ?? ? ? ?則2 2 2 21 2 1 2~ ( , )a X b Y c N a b c a b? ? ? ?? ? ? ? ?22 ()2212zxxe e d x???? ????? ?2 2()4212 zz xe e d x? ??? ? ???? ?2 22412ztx zte e d t??? ?????????? ?2412 ze ?? ??2412ze? ?? ? ? ~ 0 , 2ZN即 解：由卷積公式： 一般：設 X,Y相互獨立， 63 例 4： X,Y相互獨立，同時服從 [0,1]上的均勻分布，求 的概率密度。? ? ? ?1 2 1 2, , , , , ,mnX X X Y Y Y設 與 相互獨立，58 ( , )( , ) , , 1 , 2 , . . .i j i jXYP X x Y y p i j? ? ? ?設 二 維 離 散 型 隨 機 變 量 具 有 概 率 分 布( , ) , ( , ) , ( , )( , )U u X Y V v X Y U VZ g X Y???(1) 設 則 的 分 布 律 是 什 么 ？或 (2) 的 分 布 律 是 什 么 ？1 ( , ) ( , ) , 1 , 2 , ...( , ) {( , ) }ijijU V u v i jU u V v X Y D?? ? ? ?對 于 （ ） ， 先 確 定 的 取 值再 找 出 ， 從 而 計 算 出 分 布 律 ；, 1 , 2 , . . .( ) { ( , ) }iiZ z iZ z X Y D?? ? ?對 于 （ 2 ） 類 似 （ 1 ） ， 先 確 定 的 取 值再 找 出 ， 從 而 計 算 出 分 布 律 ；167。111 2 1 21 2 1 2 1 2( , , , ) , , , ( , , ) ( , , )nnnnx x xn n nf x x x x x xF x x x f x x x d x d x d x?? ? ? ? ? ?? ? ? ?連 續(xù) 型 隨 機 變 量 的 若 存 在 非 負 函 數 ， 使 得 對 于 任概意 實 數率 密 度55 邊緣分布 如： ? ?1 2 1 2, , , ( , , )nnX X X F x x x的分布函數 已知，? ?12, , , ( 1 )nX X X k k n??則 的 維邊緣分布函數就隨之確定。( 2 )P X Y? 20214xyxd x e d y??? ?? ??32 4 4001 1 22 2 3x x xe e dx e dx??? ? ?? ? ???53 一般 n維隨機變量的一些概念和結果 ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 1 2 212 。X Y 0 1 P(X=j) 12161 262 1626 12P(Y=i) 12 12? ? ? ?,XY例3 : 若 具有分布律 右圖，則：( 1 , 0 ) 1 6P X Y? ? ?( 1 ) ( 0 ) 1 2 1 2 1 4P X P Y? ? ? ? ?( 1 , 0 ) ( 1 ) ( 0 )P X Y P X P Y? ? ? ? ?故XY因而 與 不相互獨立。? ?( , ) ( ) , ( ) ,XYF x y F x F y X Y定 義 ： 設 及 分 別 是 二 維 隨 機 變 量47 例 1： 167。例 ： 設 數 在 區(qū) 間 上 隨 機 取 值 ， 當 觀 察 到 時 數 在 區(qū) 間 上 隨 機 取 值 ， 求 的 概 率 密 度1 0 1()0 XxX f x ???? ??， ，解 ： 的 概 率 密 度， 其 他|( 0 1 ) ,1 1 ( | ) 10 YXx x X x Yxyf y x x? ? ?? ????????對 任 給 在 條 件 下 ， 的 條 件 概 率 密 度 為 ：其 他? ?|,1 1 , 0 1( , ) ( ) ( | ) 10 X Y XXYx y xf x y f x f y x x? ? ? ? ????????故 的 概 率 密 度 為 ：其 他01( 1 ) 0 1 ( ) ( , ) 10 yYYdx l n y yf y f x y dx x?????? ? ? ? ???? ??????所以 的邊緣概率密度為：其他45 ( ) ( ) d [ ( , ) ( )] d .xx YX Y X YF x y f x y x f x y f y x? ? ? ?????( ) ( ) d [ ( , ) ( )] d .yy XY X Y Xf y x f y x y f x y f x y? ? ? ?????說明 聯合分布、邊緣分布、條件分布的關系如下 聯合分布 條件分布函數與條件密度函數的關系 邊緣分布 條件分布 聯合分布 46 167。1 p ( ) ( )XYF x F y，( ) ( , )( ) ( , )XYF x F xF y F y? ? ?? ? ?35 對于 離散型 隨機變量 (X,Y)， 分布律為 ( ) , 1 , 2 ,i j i jP X x Y y p i j? ? ? ?，1( ) ( ) 1 , 2 ,i i i j ijP X x P X x Y p p i???? ? ? ? ? ? ? ??記 為， ==1( ) ( ) 1 , 2 ,j j ij jiP Y y P X Y y p p j? ??? ? ? ? ? ? ? ?? 記 為， == i i jj i jp p jppi??記 號 表 示 是 由 關 于 求 和后 得 到 的 ； 同 樣 是 由 關 于求 和 后 得 到 的 . … … … … … … … … … … p11 … p12 p1j … p1求 （ 1）（ X,Y)的聯合分布律； （ 2） P(X+Y1)； （ 3）在 Y=3的條件下， X的分布律。求 （ 1） X， Y的聯合分布律； （ 2） X=1時 Y的條件分布律； (3) Y=0時 X的條件分布律。22 221 1 2 22 2 22 121212( ) ( ) ( ) ( )11 e xp 22( 1 )21x x y y dy? ? ? ????? ? ?? ? ? ?????????? ? ? ????? ? ??????? ?????221 212 2 211() 12 2 ( 1 )212121x yxe e d y? ?? ???? ?? ? ? ?? ????? ???? ??? ???????2212212 2 21() 1 ()2 2 ( 1 )21 2112 21x yxe e d y?? ? ? ??? ? ??? ? ? ?? ????? ? ? ? ??????? ??????????2121()211 2xex??????? ? ? ? ? ? ?2222()221 ( ) , 2xYf y e y??????? ? ? ? ? ? ?同 理?即 二 維 正 態(tài) 分 布 的兩 個 邊 緣 分 布 都 是一 維 正 態(tài) 分 布 ，并 且 都 不 依 賴 于 參 數( ) ( , )Xf x f x y dy????? ?解 ：23 167。X 0 2 1 p ? ?解：1 由題意可得：Y 0 20 10 p ? ? ? ? 0 . 2 52 2 | 2 0 0 . 7 9 40 . 3 1 5P X Y? ? ? ?19 例 2： (X,Y)的聯合分布律為 求： (1)a,b的值； (2)X,Y的邊緣分布律； (3) ( 1 | 1 )P X Y??Y X 1 1 0 a 1 2 b ( 1 | 1 ) 0 . 5P Y X? ? ?已知：( 1 | 1 ) aP Y X? ? ? ?又X 1 2 ip? jp?Y 1 1 0 ? ? 23 ( 1 | 1 ) 0 .45P X Y? ? ? ? a 2??? a 0 .1 b = 0 .3 .?? ，(2) 解： (1) 由分布律性質知 a+b+=1 即 a+b= 20 例 3：設 G是平面上的有界區(qū)域，其面積為 A，若二維隨機 變量 (X,Y)具有概率密度 則稱 (X,Y)在 G上服從 均勻分布 。 2xpi1 … pi2 pij … pi 2 ( , )( , ) ( , )F x yf x y f x yxy? ???4. 在 的 連 續(xù) 點 (x,y) ， 有11 例 3：設二維隨機變量 (X,Y)具有概率密度： 解： ( 2 )2 , 0 0( , ) 0 , xye x yf x y??? ??? ??，其他? ?? ?1 ( , )2 ( )F x yP Y X? 求 分 布 函 數 ；求 的 概 率? ?1 ( , ) ( , )yxF x y f u v dudv? ? ? ?? ??? ? ( 2 )02 ( ) 2 xyyP Y X e d x d y?? ???? ??( 2 )002 , 0 , 0 0 , yx uve d u d v x y??? ???? ?????其他2002 , 0 , 0 0 , xyuve d u e d v x y??? ???? ?????其他2( 1 ) ( 1 ) , 0 , 0 0 , xye e x y??? ? ? ? ?? ?? 其他20 ( | )yx ye e d y? ? ? ????20yye e d y? ??? ? 30ye dy? ?? ? 3011|33ye ??? ? ?12 例：設二維隨機變量 (X,Y)具有概率密度： ( 2 3 ) , 0 0( , ) 0 , xyk e x y