第五章：隨機(jī)變量的收斂性-展示頁
2024-10-29 12:18本頁面
【正文】 ? 在定理?xiàng)l件下，當(dāng)樣本數(shù)目 n無限增加時(shí)，隨機(jī)樣本均值將幾乎變成一個(gè)常量 ? 對(duì)樣本方差呢？依概率收斂于 方差 ? ?iX ??E???niin XnX11?? ?l i m 0nn XP ???? ? ? ?0??nX? ? 2iXV ?? ? ?12, ..., nX X X? ? ? ? 222 0 , nn XX a sn??? ??? ? ? ? ? ? ?VP證明：根據(jù) Cheyshev不等式 ?2?15 ( )2222 2 21 1 11 1 11 1 1 1n n nn n nn i i ii i innS X X X n X X Xn n n n n= = =驏驏鼢瓏= = = 鼢瓏鼢瓏 鼢 桫桫邋 ? 根據(jù)大數(shù)定律 ， ( )2211nPiiiXXn=揪 ?229。 ? 即對(duì)于 ， ? 表示 當(dāng) n充分大時(shí) ， 事件發(fā)生的頻率 與其概率 p存在較大偏差的可能性小。 12, ..., nX X X0e n( ) 0nXX e ?PPnXX揪 ?nXX187。 ? ?pA? PAn? ?nAf A n n?0??? 0N? nN? ? ?nf A p ???? ?li m ?nn f A p?? ?? ?li m nn f A p?? ?p??? ?? ? ? ?0 1 0nnf A p? ? ? ?P? ? 0nfA ?? ?nfA4 例 2：依分布收斂 ? 考慮隨機(jī)序列 ，其中 ? 直觀： 集中在 0處， 收斂到 0 ? 但 ? ? ? ?2 0 nn XX VP ? ?? ? ?? ? ~ 0 , 1nX N n nX（ Chebyshev不等式） 21 0n??? nX12, ..., nX X X5 兩種收斂的定義 ? 定義：令 為隨機(jī)變量序列， X為另一隨機(jī)變量，用 Fn表示 Xn的 CDF，用 F表示 X的CDF ? 如果對(duì)每個(gè) ，當(dāng) 時(shí)， ? 則 Xn依概率收斂 于 X ，記為 。1 第五章： 隨機(jī)變量的收斂性 ? 隨機(jī)樣本： IID樣本 ， ? 統(tǒng)計(jì)量：對(duì)隨機(jī)樣本的概括 ? Y為隨機(jī)變量， Y的分布稱為 統(tǒng)計(jì)量的采樣分布 ? 如：樣本均值、樣本方差、樣本中值 … ? 收斂性：當(dāng) 樣本數(shù)量 n趨向無窮大 時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的變化 ? 大樣本理論、極限定理、漸近理論 ? 對(duì)統(tǒng)計(jì)推斷很重要 12( , . . . , )nY T X X X=12, ..., nX X X ~iXF2 收斂性 ? 主要討論兩種收斂性 ? 依概率收斂 ? 大數(shù)定律：樣本均值依概率收斂于分布的期望 ? 依分布收斂 ? 中心極限定理：樣本均值依分布收斂于正態(tài)分布 3 例 1：依概率收斂 ? 概率的頻率解釋： 隨著觀測(cè)次數(shù) n的增加，頻率將會(huì)逐漸穩(wěn)定到概率 ? 設(shè)在一次觀測(cè)中事件 A發(fā)生的概率 為 ? 如果觀測(cè)了 n次，事件 A發(fā)生了 次，則當(dāng) n充分大時(shí) ， A在次觀測(cè)中發(fā)生的頻率 逐漸穩(wěn)定到 概率 p 。 ? 那么 ? 不對(duì) ，若 ? 則對(duì)于 ，總存在 ,當(dāng) 時(shí)，有 成立 ? 但若取 , 由于 ? 即無論 N多大 ,在 N以后 ,總可能存在 n ,使 ? 所以 不可能在通常意義下收斂于 p。 ? 如果對(duì)所有 F的連續(xù)點(diǎn) t，有 ? 則 Xn依分布收斂 于 X ，記為 。( ) ( )lim nn F t F t=同教材上 6 兩種收斂的定義 ? 當(dāng)極限分布為點(diǎn)分布時(shí)，表示為 ? 依概率收斂： ? 依分布收斂： ? ? 1 , , PPnnX c a n d X X t h e n X cP ? ? ??? ???? ? 1 , , nnX c a n d X X t h e n X c? ? ? ?P7 其他收斂 ? 還有一種收斂：均方收斂（ L2收斂， converge to X in quadratic mean） ? 對(duì)證明概率收斂很有用 ? 當(dāng)極限分布為點(diǎn)分布時(shí)，記為 ? 對(duì)應(yīng)還有： L1收斂（ converge to X in L1 ）
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