第五章：隨機變量的收斂性-在線瀏覽
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【正文】 ? ? 2 0 , , qmnni f X X a s t h e n X XE ? ? ? ? ??? qmnXc???1 0 , , Lnni f X X a s t h e n X XE ? ? ? ? ???? ? 2lim 0nn XXE?? ??lim 0nn XXE?? ??8 ? 依概率收斂 ? 隨機變量序列 ，當對任意 ， ? 則稱隨機變量序列 幾乎處處依概率收斂 到 X （ converge almost surely to X） ，記為 ： ? 幾乎處處收斂：比依概率收斂更強 其他收斂 0??? ?l i m 0nn XXP ??? ? ? ?..asnXX???12, ..., nX X X? ? ? ?? ?? ?: l i m 0nn XXP ? ? ??? ??或 12, ..., , ...nX X X? ?l i m 0nn XXP ??? ? ? ? ? ?? ?? ?l i m : 0nn XXP ? ? ??? ? ? ?或 9 各種收斂之間的關(guān)系 ? 點分布， c為實數(shù) L1 almost surely (L2) ? ? 1XcP ??反過來不成立！ Quadratic mean probability distribution Pointmass distribution 10 例：伯努利大數(shù)定律 ? 設(shè)在一次觀測中事件 A發(fā)生的概率 為 ， 如果觀測了 n次，事件 A發(fā)生了 次，則當 n充分大時 ， A在次觀測中發(fā)生的頻率 逐漸穩(wěn)定到 概率 p 。 0???l im 0Ann pn ?????? ? ?????P? ?pA? PAn? ?nAf A n n?Ann證明： ( ) ( ) ( ) ( )~ , , , 1 A A An Bi nomial n p n np n np p= = EV ， 所以 ( )1, AAppnnpn n n驏驏 鼢瓏 ==鼢瓏鼢瓏桫桫EV ， 對 0??? ，根據(jù) C heby sh ev 不等式 ，有 ? ?? ?2210AAnppn npnnn?????????? ??? ? ? ? ? ? ?????VP 。E 又 1 , 1nas nn 所以 ( )22111nPiiinXXnn=驏247。揪 ?247。247。 247。E （ 如果 ,PPnnX X Y Y揪 井 ，則PnnX Y XY揪 ? ） 同樣，根據(jù)大數(shù)定律，PnX m揪 ? ，由于 ( )2g y y= 為連續(xù)函數(shù)， 所以22PnX m揪 ? ， 221PnnXnm揪 ? 所以 ( )2 2 2 2PniSX ms= 揪 ?=E 樣本方差依概率收斂于分布的方差 16 強大數(shù)定律（ SLLN） ? 獨立同分布（ IID）的隨機變量序列 ， 方差 ，則樣本均值 幾乎處處收斂 于期望 ，即對任意 ? ?iX ??E??? niin XnX11?? ?l i m 0nn X ???? ? ? ?P? ? 2iXV ?? ? ?12, ..., nX X X? 0??17 例：大數(shù)定律 ? 考慮拋硬幣的問題，其中正面向上的概率為 p，令 表示單次拋擲的輸出（ 0或 1）。根據(jù)大數(shù)定律， ? 但這并不意味著 在數(shù)值上等于 p ? 而是表示當 n很大時， 的分布緊圍繞 p ? 令 ，若要求 ，則 n至少為多少？ ? 解： iX? ? ? ?1iip X X? ? ?PEnXPnXp???nXnX12p? ? ?0 . 4 0 . 6 0 . 7nX? ? ?P? ? ? ?0 . 4 0 . 6 0 . 1nnXX ?? ? ? ? ?PP? ? ? ? ? ?21 2 , 1 1 4nnX p X n p p n n?? ? ? ? ? ?EV? ? ? ? ? ?21 2 , 1iiX p X p p??? ? ? ? ? ?EV? ? 21 2 51 0 . 1 1 1 0 . 74 0 . 1nX nn?
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