多維隨機(jī)變量的數(shù)字特征-在線瀏覽
2025-06-16 05:37本頁(yè)面
【正文】 xxf X設(shè)每年生產(chǎn) y 噸的利潤(rùn)為 Y ， 2022 y 4000 ?????????xyyxxyyxg,4,3)(????????????XyXyXXyyXgY,1)(3,3)(30 )1 4 0 0 04(2 0 0 01 ??? ydyd E Y 0令?02 0 0 04)(22???dy YEd故 y = 3500 時(shí)， EY 最大， EY = 8250萬(wàn)元 )108140002(2022 1 62 ????? yy?? ??? 40002022 2 0 0 0132 0 0 01)4( yy dxydxyx? ????? dxxfxgEY X )()(31 為普查某種疾病 , n 個(gè)人需驗(yàn)血 , 可采用兩種 方法驗(yàn)血： (1) 分別化驗(yàn)每個(gè)人的血 , 共需化驗(yàn) n 次； (1) 將 k 個(gè)人的血混合在一起化驗(yàn)，若化驗(yàn)結(jié) 果為陰性 , 則此 k 個(gè)人的血只需化驗(yàn)一次； 若為陽(yáng)性 , 則對(duì) k 個(gè)人的血逐個(gè)化驗(yàn)，找 出有病者 , 這時(shí) k 個(gè)人的血需化驗(yàn) k + 1 次 . 設(shè)某地區(qū)化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為 p，且每個(gè) 人是否為陽(yáng)性是相互獨(dú)立的 . 試說(shuō)明選擇哪一 種方法可以減少化驗(yàn)次數(shù) . 驗(yàn)血方案的選擇 32 解 為簡(jiǎn)單計(jì)，設(shè) n 是 k 的倍數(shù)， 設(shè)共分成 n / k 組 第 i 組需化驗(yàn)的次數(shù)為 X i ? ?kp?1 ? ?kp?? 11Xi P 1 k + 1 ? ? ? ? ]11)[1(1 kki pkpEX ??????? ? kpkk ???? 1)1(33 ???kniiEXEX1? ?? ?kpkkkn ???? 1)1(?????? ?????? ????kpn k 1)1(1,01)1( ??????? ??kpk若 則 EX n 例如， 100001100101,10,1000010 ?????????????????????EXkpn34 1定義 ,)( xFX 的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量則滿足條件21)()( ??? mFmXP的或分布函數(shù)稱為的數(shù) )( xFXm 中位數(shù)中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：而期望則不然或特別小的值影響很小且受個(gè)別特別大具有代表性,中位數(shù)、眾數(shù)和分位點(diǎn)167。1 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特 性，但在一些實(shí)際問(wèn)題中，只需知道隨機(jī)變量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù) . 評(píng)定某企業(yè)的經(jīng)營(yíng)能力時(shí)，只要知道該企業(yè) 人均贏利水平 ； 例如 ： 研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)，我們關(guān)心的是稻穗的 平均粒數(shù) 及每粒的 平均重量 ； 檢驗(yàn)棉花的質(zhì)量時(shí)，既要注意纖維的 平均長(zhǎng) 度 ，又要注意 纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度的偏離程度 ， 平均長(zhǎng)度越長(zhǎng)、偏離程度越小，質(zhì)量就越好 。 2 考察一射手的水平，既要看他的 平均環(huán)數(shù) 是否高，還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小，即 數(shù) 據(jù)的波動(dòng) 是否小 . 由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些 數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰 地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征 , 這些 數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義 . 隨機(jī)變量某一方面的概率特性 都可用 數(shù)字 來(lái)描寫 3 理？人數(shù)相等，誰(shuí)的話有道分的分和少于分是有代表性的，多于總體看宜，因?yàn)閺姆?；教授認(rèn)為：考題適平均成績(jī)才偏難，因?yàn)槿?；系主任認(rèn)為：考題分的就有得認(rèn)為：試題太易，因?yàn)槌煽?jī)上報(bào)后，教學(xué)院長(zhǎng)期末考試成績(jī)?nèi)缦拢何谎芯可险n，某大學(xué)新聘一位教授給引例：808080390.90,82,30,73,63,75,78,83,80,90,76,85,90,81,72154 ? 隨機(jī)變量的平均取值 —— 數(shù)學(xué) 期望 ? 隨機(jī)變量取值平均偏離平均值的 情況 —— 方差 ? 描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的某種關(guān) 系的數(shù) —— 協(xié)方差 與 相關(guān)系數(shù) 本 章 內(nèi) 容 5 定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為 ?,2,1,)( ??? kpxXP kk若無(wú)窮級(jí)數(shù) ???? 1kkk px絕對(duì)收斂，則稱其和為隨機(jī)變量 X 的 數(shù)學(xué)期望 記為 ?????1kkk pxEX1. 數(shù)學(xué)期望的定義 167。 35 2定義的是隨機(jī)變量稱如果設(shè)XpXPpXPpppp??? ???????1)(,)(,10分位點(diǎn)（上側(cè)分位點(diǎn)）p的是隨機(jī)變量稱同理如果滿足條件XpXPpXPppp??????????? 1)(,)(分位點(diǎn)下側(cè) p數(shù)的轉(zhuǎn)化公式：上側(cè)分位數(shù)與下側(cè)分位pppp ?? ???? 11 , ????36 3定義的為的數(shù)值稱滿足為其概率密度是連續(xù)型隨機(jī)變量若XmxfmfxfXx00)(s u p)(,)(,)1(?眾數(shù)的為的數(shù)值 ，稱滿足 為其概率分布是離散型隨機(jī)變量若XmpmXPkpxXPXkxkk00m a x)()2,1(,)(,)2(????? ?眾數(shù)37 的中位數(shù)求正態(tài)分布 ),( 2??N?數(shù)都是由對(duì)稱性知中位數(shù)、眾? ?的中位數(shù)求，概率都是并且取其中每一個(gè)值的，的取值集合為設(shè)隨機(jī)變量XX2110例 1 解 例 2 38 解 )21,1(~ BX????????????1,1102100)(xxxxF ，有對(duì)于任何 ,10 ?? a21)0()( ???? XPaXP21)1()( ???? XPaXP的中位數(shù)中任何一個(gè)實(shí)數(shù)都是區(qū)間由定義知X)1,0(39 167。 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù) 問(wèn)題 對(duì)于二維隨機(jī)變量 (X ,Y ): 已知聯(lián)合分布 邊緣分布 這說(shuō)明對(duì)于二維隨機(jī)變量，除了每個(gè) 隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間 可能還有某種聯(lián)系 . 問(wèn)題是用一個(gè)什么樣 的數(shù)去反映這種聯(lián)系 . ? ?))(( EYYEXXE ??數(shù) 反映了隨機(jī)變量 X ,Y 之間的某種關(guān)系 65 定義 稱 為 X ,Y 的 協(xié)方差 ，記為 ? ?))((),( EYYEXXEYXC o v ???1. 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的定義 DYDXYXC o vXY),(??為 X ,Y 的 相關(guān)系數(shù) 若 ,0?XY?稱 X ,Y 不相關(guān) ? ?))(( EYYEXXE ??稱 66 則若特別地 , YX ?DXEXXEXXC o v ??? 2)(),(因此 ,方差是協(xié)方差的特例 協(xié)方差刻畫兩個(gè)隨機(jī)變量之間的 “ 某種 ” 關(guān)系 可以證明 若 (X,Y)服從二
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