第五章：隨機變量的收斂性(已改無錯字)
2022-11-29 12:18:10 本頁面
【正文】 5 0 . 9 9 3 8Z? ? ?P? ?1 2 5 5 . 5 55Z??????????P21 中心極限定理的應(yīng)用之一 — 二項概率的近似計算 ? 設(shè) 是 n重 貝努里試驗中事件 A發(fā)生的次數(shù)，則 ，對任意 ，有 ? 當 n很大時，直接計算很困難。這時 如果不大（即 p，np5）或 不大，則可用 Poisson分布來近似計算 n?? ?~,n B i n o m i a l n p? ab?? ? ? ?1 nkkknna k ba b C p p? ???? ? ? ??Pnp? ?1np?? ?1 !xnkkknC p p ex??? ???? ? ,n P o i s s o n n p? ? ???22 中心極限定理的應(yīng)用之一 — 二項概率的近似計算（續(xù)） ? 當 p不太接近于 0或 1時，可根據(jù) CLT， 用正態(tài)分布來近似計算 ? 根據(jù) CLT， ? ? ? ? ? ? ? ?111nnnpa n p n n pabn p p n p p n p p?? ?? ?????? ? ? ? ??????PP? ? ? ?11b np a npnp p np p? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?11~ , , , 1nn n niiiX B e r n o u lli p X X X p X p p nn?? ? ? ?? EV1nnniiX n X?????? ?? ?? ? ? ?? ?, 1 , ,1nnX N p p p n N n p n p p? ?? ??德莫弗 — 拉普拉斯定理 23 中心極限定理的應(yīng)用之一 — 二項概率的近似計算（續(xù)） ? 例：已知紅黃兩種番茄雜交的第二代結(jié)紅果的植株與結(jié)黃果的植株的比率為 3:1，現(xiàn)種植雜交種 400株，求結(jié)黃果植株介于 83到 117之間的概率。 ? 由題意：任意一株雜交種或結(jié)紅果或結(jié)黃果，只有兩種可能性，且結(jié)黃果的概率 ? 種植雜交種 400株，相當于做了 400次貝努里試驗，記為400株雜交種結(jié)黃果的株數(shù)，則 ? 當 n=400較大時，根據(jù) CLT， 400?14p?? ?400 1 1 7 4 0 0 1 4 8 3 4 0 0 1 48 3 1 1 7 4 0 0 1 4 3 4 4 0 0 1 4 3 4? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?P? ?400 ~ 4 0 0 , 1 4B i n o m i a l?? ? ? ?1 . 9 6 1 . 9 6? ? ? ? ?? ?2 1 . 9 6 1 2 0 . 9 7 5 1 0 . 9 5? ? ? ? ? ? ? ?24 中心極限定理的應(yīng)用之一 — 二項概率的近似計算（續(xù)） ? 例：某單位內(nèi)部有 260架電話分機，每個分機有 4%的時間要用外線通話。可以認為各個電話分機用不同外線是相互獨立的。問：總機需備多少條外線才能以 95%的把握保證各個分機在使用外線時不必等候？ ? 一個分機使用外線的概率 ? 260個分機中同時使用外線的分機數(shù) ? 設(shè)總機確定的最少外線條數(shù)為 x, ? 則根據(jù) CLT， 4p ?? ?? ?26026 0 0. 04 26 0 0. 04 0. 961x np xxnp p??? ? ? ?????? ? ? ? ? ?????? ????P? ?260 ~ 2 6 0 , 0 . 0 4B i n o m i a l? 1 6x??25 中心極限定理 ? 標準差 通常不知道，可用樣本標準差代替，中心極限定理仍成立，即 ? 其中 ( ) 22111nnniiS X Xn== 229。? ?nnnXZS???s26 中心極限定理 ? 無論隨機變量 X為 何種類型的分布，只要滿足定理條件，其樣本均值就近似服從正態(tài)分布 ? 但近似的程度與原分布有關(guān) ? 正態(tài)近似的程度： BerryEsseen定理 ? 若 ，則 ? 還有中心極限定理得多變量版本 31X ?E( ) ( )31333sup4nzXZ z znms? F ? EP27 多元分布的中心極限定理 ? 令 為 IID隨機向量，其中 ? 協(xié)方差矩陣為 ，令樣本均值向量為 ? 則
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