任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別(編輯修改稿)
2025-02-16 02:18 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?? 1nnu 收斂 , 則稱 ??? 1n nu 為 條件收斂 . 定義 若 ??? 1n nu 收斂 , 11||nnnnuu?????? 收 斂 ， 收 斂1nnu???? 絕 對(duì) 收 斂1nnu???? 條 件 收 斂 收斂發(fā)散， ?????? 11 n nn nuun2n11( 1 )n???例 ：nn11(1)n???絕對(duì)收斂 條件收斂 11||nnnnuu?????? 收 斂 ， 收 斂1nnu???? 絕 對(duì) 收 斂1nnu???? 條 件 收 斂 收斂發(fā)散， ?????? 11 n nn nuu例：判別級(jí)數(shù) 的斂散性。??????11)0()1(npnpn解： 時(shí)，1?p? 原 級(jí) 數(shù) 條 件 收 斂 .時(shí)，1?p 11111| ( 1 ) |nppnnnn?????????11111| ( 1 ) |nppnnnn?????????此 時(shí) , 原 級(jí) 數(shù) 絕 對(duì) 收 斂 .發(fā)散，收斂，n 1 n1 1 1, lim lim 0 ,( 1 )np p pnnu u un n n? ? ? ? ?? ? ? ? ??又11pn n??? ??? ?? 發(fā)散時(shí)當(dāng) 收斂時(shí)當(dāng) ,1 ,1pp111( 1 ) npn n?????1,1,pp??? ??當(dāng) 時(shí) 絕 對(duì) 收 斂當(dāng) 時(shí) 條 件 收 斂例：判別級(jí)數(shù) 2( 1 )lnnn n???? 的 斂 散 性 .解： 22( 1 ) 1ln lnnnnnn????? ??? 11ln nn?21 ,n n???且 發(fā) 散21 .lnn n??? ? 發(fā) 散111ln ln ( 1 )nnuunn ?? ? ??又1lim 0lnn n?? ?2( 1 ) .lnnn n???? ? 條 件 收 斂四、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別方法 定理： 1nnu???設(shè) 為 任 意 項(xiàng) 級(jí) 數(shù) ， 則若 ,|| ||l i m 1 ruunnn????時(shí)，當(dāng) 1)1( ?r1nnu??? 絕 對(duì) 收 斂 。時(shí)，當(dāng) 1)2( ?r1,nnu??? 發(fā) 散時(shí)，當(dāng) 1)3( ?r 判別法失效。1nnu??? 發(fā) 散 。1,nnu??? 收 斂1111nnnnnnnnuuuu????????????發(fā) 散 時(shí) ， 可 能 收 斂 ， 也 可 能 發(fā) 散 ， 但 若根 據(jù) 比 值 判 別 法 ： 判 定 發(fā) 散 ， 則 發(fā) 散 .例： 的斂散性。判別級(jí)數(shù) ? ?? nn n2)1(31解： ?? ??? 31 3 22 )1(lim nn nnn ???? 3)11(21lim nn21 1?絕對(duì)收斂。nn n2)1(3??????? || ||l i m 1nnn uu?例： 113( 1 ) ! nnnn n?????? ?????判 別 級(jí) 數(shù) 的 斂 散 性 。解： 13( 1 ) !1lim3!nnnnnnn?????? ????????????3e?1? 3( 1 ) 2n nn??? 發(fā) 散 .???? || ||l i m 1nnn uu? lim 3 1nnnn?????????3lim11 nnn??????????11( 1 ) .n nnxn???例 討 論 的 斂 散 性x111 n nnxn???? （ － ）解： 111lim1nnnxnxn?????lim 1n n xn?? ??11( 1 ) .n nnxn????? 絕 對(duì) 收 斂( 1 ) 0 ,x ?當(dāng) 時(shí)10n??? 絕 對(duì) 收 斂 。( 2 ) 0 ,x ?當(dāng) 時(shí)1nnxn??
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