[工學]常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(編輯修改稿)
2025-02-15 11:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ?? 1nnu和 ??? 1nnv都收斂，其和分別 TS 與為 ， 則級數(shù) ????1)(nnn vu 也收斂，其和為 TS ? 。 常數(shù)項級數(shù)的性質 如21 ,11 ?? qa 的等比級數(shù) ?????8141211 是收斂的， 其和 22111???S ， 減去它的前五項得到的級數(shù) ????1 2 81641321 仍收斂 ， 其和161211321???S 。 性質 2 在級數(shù)中去掉或加上有限多項，不改變 級數(shù)的斂散性 。 性質 3 若級數(shù) ??? 1nnu 收斂，則不改變它的各項次序任意 添加括號后構成的新級數(shù) ??? 1mmv 仍然收斂且其和不變。 證明：設 Sunn ???? 1， 1211 nuuuv ???? ? ， 21 12 nn uuv ??? ? ? ， ? ， mm nnm uuv ??? ?? ?11 ， ? ， 級數(shù) ??? 1nnu 和 ??? 1mmv 的部分和分別為 nnS ? 和 ， 則 11 nS?? ， 22 nS?? ， ? ， knk S?? ， ? ， 故 }{ }{ nn S是? 的子列， 從而當 nnS??lim 存在時， nn???lim 必存在，且 SS nnnn???????limlim ，因此性質 4 成立。 例如：級數(shù) ????? )11()11( 收斂于零， 但級數(shù) ????? 1111 發(fā)散。 注意 ： 若加括號后所成的級數(shù)收斂 ， 則不能斷定去 括號后原來的級數(shù)收斂。 推論 ：如果加括號后的級數(shù)發(fā)散，則原級數(shù)也發(fā)散。 性質 4 （ 級數(shù)收斂的必要條件 ） .0lim ,1?????? nnnn uu 則收斂若 證明：設 Sunn ???? 1， ∵ 1??? nnn SSu ， ∴ 0)(l i ml i m 1 ????? ????? SSSSu nnnnn 。 0l i m1??????? nnnn uu 收斂若 ， 即 ???????10l i mnnnnuu 發(fā)散若 ， 但 0l i m ???nnu ? ??? 1nnu 收斂 。 例如調和級數(shù) ??? 11n n是發(fā)散的，而 01l i m ??? nn。 例 7 ．判別級數(shù) ??? ?1 1lnn nnn 的斂散性。 解：∵ 1)11(1lnlim1lnlimlim ???????????? nnnnnnnnnu ， ∴級數(shù) ??? ?1 1lnn nnn 發(fā)散。 定理 1 . 1 （柯西收斂準則） 使當 Nn ? 時，對 ??? Np ，總有 ??? 1nnu 收斂的充分必要條件是： 0??? ， ??? NN ， . 211????? ??????? pnnnpnnkk uuuu ?例
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