定積分的概念存在條件與性質(zhì)(編輯修改稿)
2024-09-01 05:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 個曲邊梯形面積的代數(shù)和， 軸在 x 上方的面 積取正號， 軸在 x 下方的面積取負(fù)號 . 2 ．若 ],[)( baCxf ? ，且 0)( ?xf ， 則 Axxfba ??? d)( ， 或 ??? ba xxfA d)( . )( xfy ?xyoa b. d)( 321 AAAxxfba ????例 2 ．利用定積分表示圖中的面積 . 1)( ?xfxyoa b（ 1 ） 解 ： abxA ba ??? ? d . )( xfy?xyoa b1 A2 A3 Axy sin?xyo?? ? （ 2 ） 解 ： ? ?? ??? 0 0 d s i nd s i n? ? xxxxA . （ 3 ） 解 ： .d d 2 1 1 21 1 2 xxxxA ?? ?? ??? 2xy?222 ?? yxxyo1? 1定理 （可積的必要條件） 函數(shù) f 在 區(qū)間 ] ,[ ba 上 可積的 充分必要條件是 f 在區(qū)間 ] ,[ ba 上有界。 設(shè)f在子區(qū)間1[ , ]kkxx ?上的上、下確界分別為kM與km， 即? ? ? ?11s u p ( ) [ , ] , i n f ( ) [ , ]k k k k k kM f x x x x m f x x x x??? ? ? ? 稱k k kMm? ??為f在子區(qū)間1[ , ]kkxx ?上的振幅，和式 11,nnn k k n k kkkS M x s m x??? ? ? ??? 分別稱為f關(guān)于該分割的 D a r b o u x 大和與 D a r b o u x 小和。 定積分的存在條件 設(shè)函數(shù) f 在區(qū)間 [ , ]ab 上有界 ，則 f 在 ],[ ba 上可積 的充要條件是： 0 , 0??? ? ? ? ，當(dāng) d ?? 時，1nkkkx?????? 定理 若 [ , ]f C a b? ，則 [ , ]f a b在 上可積 . 定理 如果有界函數(shù) f 在 區(qū)間 ],[ ba 上 只 有有限個 第一類 間斷 點(diǎn) 或者在 ],[ ba 上單調(diào) ，則 f 在 ],[ ba 上可積 . 定理 （可積的充要條件） 解 ：設(shè) xexf ?)( , 則 ]1,0[)( Cxf ? , 故 上在 ]1 ,0[)( xf 例 1 ．用定積分的定義計(jì)算 xe x d1 0 ? . 可 積 . 把 n ]1 ,0[ 等分 , 分點(diǎn)為 00 ?x ,nx 11 ?,nx 22 ?, ? , nix i ?，?，1??nnx n； 每個 小 區(qū)間的長度都是 nx i1??, 在每個 小 區(qū)間] ,1[nini ?上都取左端點(diǎn) 作 為i?, 即nii1???, ,1 )1(11)(1
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