定積分的概念與性質(zhì)(編輯修改稿)
2025-02-16 04:19 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 要求某種整體的量，且解決問(wèn)題所用的思想方法也相同，通過(guò)： 分割 —— 把整體的問(wèn)題分成局部問(wèn)題； 近似代替 —— 在局部上 “ 以直代曲或以不變代變 ” 求出局部的近似值； 近似求和 —— 得到整體量的一個(gè)近似值； 取極限 —— 得到整體量的精確值 . 以上四步在數(shù)量上都?xì)w結(jié)為對(duì)某一函數(shù) )(xf施行結(jié)構(gòu)相同的數(shù)學(xué)運(yùn)算 —— 確定一種特殊的 和式 “ inii xf ???1)(?在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)際中還有許多問(wèn)題也都可以歸結(jié)為求這種 和式的極限，現(xiàn)在拋開(kāi)其問(wèn)題的實(shí)際意義，將它們數(shù)量關(guān)系上 的本質(zhì)特性加以概括，抽象出來(lái)得出定積分的定義 . ”的極限 . 定積分的定義 定義 51 )( xfy ? [ , ]ab [ , ]ab1n?bxxxxxxxa nnii ?????????? ?? 11210 ??0 1 1 2 1 1[ , ] , [ , ] , , [ , ] , , [ , ]i i n nx x x x x x x x??1 ( 1 , 2 , , )i i ix x x i n?? ? ? ?n 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義，在 中插入 個(gè)分點(diǎn)， 把區(qū)間分成 個(gè)小區(qū)間 每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度依次為 01( ) l im ( )nbiiaif x d x f x???????? 在每個(gè)小區(qū)間 上任取一點(diǎn) ，作函數(shù)值 與小區(qū)間長(zhǎng)度 的乘積 ，并作和式（稱為 積分和式 ） 記 ，如果當(dāng) 時(shí)，和式的極限 存在，則稱這個(gè)極限值為函數(shù) 在 上的 定積分 （簡(jiǎn)稱 積分 ），記作 ，即 1[ , ]iixx? 1()i i i ixx??? ??()if ? ix? ()iifx? ?1()niiifx????11m a x{ , , , }nx x x? ? ? ? ? 0??0 1lim ( )niiifx??? ??? ()fx [ , ]ab()ba f x d x??? baxxf d)( inii xf ???? 10)(l i m ??積分上限 積分下限 被積函數(shù) 被積表達(dá)式 積分變量 積分和 稱為積分區(qū)間],[ ba定理 51 閉區(qū)間 [a,b]上的連續(xù)函數(shù) f(x)必可積 。 定理 52 在閉區(qū)間 [a,b]上只有 有限個(gè)間斷點(diǎn) ，且有界 的連續(xù)函數(shù) f(x)必可積 。 說(shuō)明 １ . 定積分
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