第二節(jié)正項級數(shù)及其收斂法(編輯修改稿)
2025-11-16 12:27 本頁面
【文章內容簡介】 可以任意改變項的順序，其收斂性與和均不變； (2) 條件收斂的級數(shù)，總可以適當改變項的順序，使其按任意預定的方式收斂 或 發(fā)散。 注： 用比值或根值審斂法判定的非絕對收斂級數(shù)一定發(fā)散。 三、小結 正 項 級 數(shù) 任意項級數(shù) 審 斂 法 1. 2. 4. 充要條件 5. 比較法 6. 比值法 7. 根值法 4. 絕對收斂 5. 交錯級數(shù) (萊布尼茨定理 ) 3. 按基本性質 。 。, 則級數(shù)收斂若 SS n ?。,0, 則級數(shù)發(fā)散當 ??? nun(*) 第四節(jié) 冪級數(shù) 一 . 函數(shù)項級數(shù) ?????????? )()()(21 xuxuxu n????1)(nn xu函數(shù)項級數(shù) )}({ xun 是定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)列 在 I 中任取一點 ,就得到一個數(shù)項級數(shù) 0x????10 )(nn xu ?????????? )()()( 00201 xuxuxu n收斂 , 收斂點 0x 0x發(fā)散 , 發(fā)散點 函數(shù)項級數(shù)的全體收斂點的集合稱為 收斂域 ： 在收斂域內，函數(shù)項級數(shù)的和依賴于點 x，因此其和是 x的函數(shù)， 稱為 和函數(shù) ????1)()(nn xuxS : )()()( xSxSxr nn ?? 前 n項的部分和 在收斂域內才有意義 ,且 0)(lim ??? xrnn二 . 冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù) 各項都是冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù) 一般形式 : ?????????????? nn xxaxxaxxaa )()()( 0202020??????????? nn xaxaxaa 2210特例 系數(shù) (1) (2) 主要討論 (2),因為 (1)可以通過變量代換化成 (2) x = 0 時 (2)收斂 ,一般的 ,冪級數(shù)收斂域是一區(qū)間 . 例 ???????????????? nnn xxxx 211 1由等比級數(shù)的性質 , 時收斂 , 時發(fā)散 1|| ?x 1|| ?x則收斂域 (－ 1,1)內 xxxxn????????????? 111 2定理 1 (阿貝爾定理 ) 如果 ： ???0nnn xa 收斂 , )0(0 ?? xx 則當 時，它絕對收斂 |||| 0xx ? 發(fā)散 , )0(0 ?? xx則當 時，它發(fā)散 . |||| 0xx ?推論 設 存在非零的收斂點 ,又存在發(fā)散點 ,則 ???0nnn xa存在 R0,使得當 |x|R 時它絕對收斂 ,當 |x|R 時它發(fā)散 注 :三種收斂情形 : (1) 僅在 x = 0 處收斂 。 (2) 在 內處處收斂 。 ),( ???(3) 在 (－ R,R )內收斂 ,端點另外討論 收斂區(qū)間 R— 收斂半徑 R= 0 R= +
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