勾股定理經(jīng)典例題(編輯修改稿)
2025-04-20 13:00 本頁面
【文章內容簡介】 形的性質． 舉一反三 【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側面爬行到點C，試求出爬行的最短路程． 解： 如圖，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周長的一半＝１０cm， 根據(jù)勾股定理得 ?。ㄌ釂枺汗垂啥ɡ恚 ?AC＝＝ ＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）． 答：最短路程約為１０．７７cm．類型四：利用勾股定理作長為的線段 作長為、的線段?！ ∷悸伏c撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。 作法：如圖所示 ?。?）作直角邊為1（單位長）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊； （2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為； ?。?）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長度就是 、?！ 】偨Y升華：（1）以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是正確的；（2）取單位長時可自定。一般習慣用國際標準的單位，如1cm、1m等，我們作圖時只要取定一個長為單位即可。 舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點?！ 〗馕觯嚎梢园芽醋魇侵苯侨切蔚男边?， 為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1?！ ∽鞣ǎ喝鐖D所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC為半徑， 以O為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理 寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確 1．原命題：貓有四只腳．（正確） 2．原命題：對頂角相等（正確） 3．原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等．（正確） 4．原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等．（正確） 思路點撥：掌握原命題與逆命題的關系。 解析：1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確） 2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確） 3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．（正確） 4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．（正確） 總結升華：本題是為了學習勾股定理的逆命題做準備?！∪绻BC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀?！ ∷悸伏c撥：要判斷ΔABC的形狀，需要找到a、b、c的關系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ： a26a+9+b28b+16+c210c+25=0, ∴ (a3)2+(b4)2+(c5)2=0。 ∵ (a3)2≥0, (b4)2≥0, (c5)2≥0。 ∴ a=3，b=4，c=5。 ∵ 32+42=52, ∴ a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。 總結升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關系來研究圖形的位置關系的,在證明中也常要用到。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90176。，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積?！ 敬鸢浮浚哼B結AC ∵∠B=90176。，AB=3，BC=4 ∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理） ∴AC=5 ∵AC2+CD2=169，AD2=169 ∴AC2+CD2=AD2 ∴∠ACD=90176。（勾股定理逆定理） 【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形. 分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可 證明： 所以△ABC是直角三角形. 【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB?！ ?請問FE與DE是否垂直?請說明?！ 敬鸢浮看穑篋E⊥EF。 證明：設BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, ∴ EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a
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