數(shù)項級數(shù)經(jīng)典例題大全-資料下載頁
2025-01-14 02:39本頁面
【正文】 ；條件收斂，條件收斂，但是絕對收斂的.58．判斷一般項級數(shù)斂散性的步驟：答：1)先判斷通項的極限是否為0，若通項的極限不為0，則發(fā)散，若通項極限為0，則需繼續(xù)判斷；2）判斷的收斂性（用正項級數(shù)判別法判斷）若收斂，則絕對收斂，若發(fā)散，如果是用比式判別法或根式判別法判斷發(fā)散，則發(fā)散，若不是用比式判別法且不是用根式判別法判斷發(fā)散，則需要繼續(xù)判斷；3）若是交錯級數(shù)，用萊布尼茲判別法，如用萊布尼茲判別法判斷交錯級數(shù)收斂，則條件收斂，若的通項可分解成兩個數(shù)列的乘積，用阿貝爾判別法或狄利克雷判別法，若判斷收斂，則條件收斂.59．對于一般項級數(shù)，如果，能否推出與具有相同的斂散性.答：不能，例如與，前者收斂，后者發(fā)散，但卻有.注意：正項級數(shù)與一般級數(shù)的性質(zhì)有很大的差異，一定要分清那些是關于正項級數(shù)的結(jié)論，那些是關于一般項級數(shù)的結(jié)論，注意不要把僅對正項級數(shù)成立的結(jié)論隨意套用到一般級數(shù)上來.，對嗎？答：不對，比較判別法的極限形式只能用于正項級數(shù)，對變號級數(shù)不能使用. 第一個級數(shù)是交錯級數(shù)，滿足萊布尼茲判別法的條件，并且它的通項與第一個級數(shù)的通項是等價無窮小量，但并不滿足通項絕對值單調(diào)的條件，把兩個級數(shù)通項之差構成第三個級數(shù)：，其中，由此可見第二個級數(shù)發(fā)散., 能否存在一個正數(shù), 使得: ?答：不一定. 如收斂, 而.62．若為正項級數(shù)，判斷下列語句是否正確，并說明理由.1)若，則級數(shù)收斂嗎？2)若存在非零常數(shù)，使得，級數(shù)收斂性如何？3)設級數(shù)收斂，能否推出收斂，反之又如何？答：1）不一定：例如級數(shù)若為，則滿足所給條件，但是發(fā)散. 2）正確：由于可寫成，由比較法可知級數(shù)與具有同斂散性，即發(fā)散.3）正確：，當時有，從而之后恒有，故由級數(shù)收斂，知也收斂. 但反之不一定，例如，取，則發(fā)散，但是收斂.注：要掌握常見級數(shù)，例如、等級數(shù)的斂散性.63. 設級數(shù)收斂，能否推出收斂？答： 不能，例如取，收斂，但發(fā)散.： （1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）．解：（1）（拿到級數(shù)先判斷級數(shù)的通項是否為0）因為，則發(fā)散．（2）(通項易找等價無窮小量用比較原則的極限形式)因為，而收斂（等比級數(shù)的公比）．（3）（含有階乘用比式判別法）因為，則發(fā)散．（4）（含有次冪用根式判別法） 因為，則收斂．(5) 因為則，因為，則收斂．（6）因為（），則，因為收斂，則收斂．（7）（充分大）則，因為收斂，則收斂．（8）因為（），則，因為收斂，則收斂． 65．判斷下列級數(shù)的斂散性．若收斂，指出絕對收斂或條件收斂． 1) ； 2）；3）．證 1）先對通項加絕對值，判斷（當充分大，有，且級數(shù)與前面有限項無關）的斂散性．因為，而發(fā)散，則發(fā)散．再判斷通項不加絕對值的斂散性．因為為交錯級數(shù)，且遞減（遞減，當充分大，有，遞增，則復合之后遞減）且，由萊布尼茲判別法知收斂，綜上條件收斂． 2）先對通項加絕對值，判斷的斂散性．因為，且發(fā)散，則發(fā)散．再判斷通項不加絕對值的斂散性．因為為交錯級數(shù)，令，則，即遞減且，由萊布尼茲判別法知收斂，綜上條件收斂．3）先對通項加絕對值，判斷的斂散性，因為，當時收斂，絕對收斂，當時發(fā)散，因為是用比式判別法判斷的，則發(fā)散，當時，則發(fā)散，因為是用比式判別法判斷的，則發(fā)散（因為單調(diào)增加收斂于，則為的上界）．注：當，此時不好用比式判別法的極限判斷，則我們用比式判別法判斷．66. 證明:若數(shù)列有, 則(1) 級數(shù)發(fā)散。 (2) 當時, .證明: (1) 級數(shù)的部分和,而 , 故級數(shù)發(fā)散.(2) 級數(shù)的部分和,故 .67． 設，證明：如果級數(shù)收斂，則級數(shù)與級數(shù)都收斂．證 1）先證收斂：因級數(shù)收斂，則，故當充分大時，因而，由比較判別法知級數(shù)收斂．2）證收斂：因 ，且和均收斂，所以由比較判別法知級數(shù)收斂． 68． 應用級數(shù)理論證明極限： （1） ；（2） .分析 如果級數(shù)收斂，則，這個結(jié)果稱為級數(shù)收斂的必要條件．把數(shù)列的通項看成某級數(shù)的通項，而對此級數(shù)的收斂性的判別又較容易，則由級數(shù)收斂的必要條件，立即得出數(shù)列的極限．證 （1）考慮級數(shù)， 由于，所以級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件知． （2）考慮級數(shù)，由于所以級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件即知 ．69．證明：若收斂，則收斂．分析 這是一個抽象的數(shù)列和級數(shù)，且條件類型相當于知道相鄰兩項的估計，由此可得任意兩項差的估計，故考慮用Cauchy收斂準則．證明：由于收斂，則由Cauchy收斂準則，對，存在，當時，對任意的正整數(shù)，成立，因而， ，再次用數(shù)列收斂的Cauchy收斂準則得：收斂．70．設收斂且，證明：．證明：記的部分和為，則 取極限即可得到結(jié)論．注．從證明過程中發(fā)現(xiàn)，除去定量關系，上述結(jié)論的逆也成立，即在條件下若收斂，則也收斂．同樣，在，都收斂的條件下，也收斂．71. 判斷斂散性．解 利用函數(shù)泰勒展開 故， ，因而，該級數(shù)收斂．
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