數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)經(jīng)典例題大全-資料下載頁
2025-01-14 02:39本頁面
【正文】 ；條件收斂，條件收斂，但是絕對收斂的.58．判斷一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的步驟：答：1)先判斷通項(xiàng)的極限是否為0，若通項(xiàng)的極限不為0，則發(fā)散，若通項(xiàng)極限為0，則需繼續(xù)判斷；2）判斷的收斂性（用正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法判斷）若收斂，則絕對收斂，若發(fā)散，如果是用比式判別法或根式判別法判斷發(fā)散，則發(fā)散，若不是用比式判別法且不是用根式判別法判斷發(fā)散，則需要繼續(xù)判斷；3）若是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，用萊布尼茲判別法，如用萊布尼茲判別法判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，則條件收斂，若的通項(xiàng)可分解成兩個(gè)數(shù)列的乘積，用阿貝爾判別法或狄利克雷判別法，若判斷收斂，則條件收斂.59．對于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，能否推出與具有相同的斂散性.答：不能，例如與，前者收斂，后者發(fā)散，但卻有.注意：正項(xiàng)級(jí)數(shù)與一般級(jí)數(shù)的性質(zhì)有很大的差異，一定要分清那些是關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)的結(jié)論，那些是關(guān)于一般項(xiàng)級(jí)數(shù)的結(jié)論，注意不要把僅對正項(xiàng)級(jí)數(shù)成立的結(jié)論隨意套用到一般級(jí)數(shù)上來.，對嗎？答：不對，比較判別法的極限形式只能用于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，對變號(hào)級(jí)數(shù)不能使用. 第一個(gè)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，滿足萊布尼茲判別法的條件，并且它的通項(xiàng)與第一個(gè)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是等價(jià)無窮小量，但并不滿足通項(xiàng)絕對值單調(diào)的條件，把兩個(gè)級(jí)數(shù)通項(xiàng)之差構(gòu)成第三個(gè)級(jí)數(shù)：，其中，由此可見第二個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散., 能否存在一個(gè)正數(shù), 使得: ?答：不一定. 如收斂, 而.62．若為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，判斷下列語句是否正確，并說明理由.1)若，則級(jí)數(shù)收斂嗎？2)若存在非零常數(shù)，使得，級(jí)數(shù)收斂性如何？3)設(shè)級(jí)數(shù)收斂，能否推出收斂，反之又如何？答：1）不一定：例如級(jí)數(shù)若為，則滿足所給條件，但是發(fā)散. 2）正確：由于可寫成，由比較法可知級(jí)數(shù)與具有同斂散性，即發(fā)散.3）正確：，當(dāng)時(shí)有，從而之后恒有，故由級(jí)數(shù)收斂，知也收斂. 但反之不一定，例如，取，則發(fā)散，但是收斂.注：要掌握常見級(jí)數(shù)，例如、等級(jí)數(shù)的斂散性.63. 設(shè)級(jí)數(shù)收斂，能否推出收斂？答： 不能，例如取，收斂，但發(fā)散.： （1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）．解：（1）（拿到級(jí)數(shù)先判斷級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是否為0）因?yàn)?，則發(fā)散．（2）(通項(xiàng)易找等價(jià)無窮小量用比較原則的極限形式)因?yàn)椋諗浚ǖ缺燃?jí)數(shù)的公比）．（3）（含有階乘用比式判別法）因?yàn)?，則發(fā)散．（4）（含有次冪用根式判別法） 因?yàn)?，則收斂．(5) 因?yàn)閯t，因?yàn)椋瑒t收斂．（6）因?yàn)椋ǎ?，則，因?yàn)槭諗?，則收斂．（7）（充分大）則，因?yàn)槭諗浚瑒t收斂．（8）因?yàn)椋ǎ?，則，因?yàn)槭諗浚瑒t收斂． 65．判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性．若收斂，指出絕對收斂或條件收斂． 1) ； 2）；3）．證 1）先對通項(xiàng)加絕對值，判斷（當(dāng)充分大，有，且級(jí)數(shù)與前面有限項(xiàng)無關(guān)）的斂散性．因?yàn)?，而發(fā)散，則發(fā)散．再判斷通項(xiàng)不加絕對值的斂散性．因?yàn)闉榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)，且遞減（遞減，當(dāng)充分大，有，遞增，則復(fù)合之后遞減）且，由萊布尼茲判別法知收斂，綜上條件收斂． 2）先對通項(xiàng)加絕對值，判斷的斂散性．因?yàn)?，且發(fā)散，則發(fā)散．再判斷通項(xiàng)不加絕對值的斂散性．因?yàn)闉榻诲e(cuò)級(jí)數(shù)，令，則，即遞減且，由萊布尼茲判別法知收斂，綜上條件收斂．3）先對通項(xiàng)加絕對值，判斷的斂散性，因?yàn)?，?dāng)時(shí)收斂，絕對收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散，因?yàn)槭怯帽仁脚袆e法判斷的，則發(fā)散，當(dāng)時(shí)，則發(fā)散，因?yàn)槭怯帽仁脚袆e法判斷的，則發(fā)散（因?yàn)閱握{(diào)增加收斂于，則為的上界）．注：當(dāng)，此時(shí)不好用比式判別法的極限判斷，則我們用比式判別法判斷．66. 證明:若數(shù)列有, 則(1) 級(jí)數(shù)發(fā)散。 (2) 當(dāng)時(shí), .證明: (1) 級(jí)數(shù)的部分和,而 , 故級(jí)數(shù)發(fā)散.(2) 級(jí)數(shù)的部分和,故 .67． 設(shè)，證明：如果級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)都收斂．證 1）先證收斂：因級(jí)數(shù)收斂，則，故當(dāng)充分大時(shí)，因而，由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂．2）證收斂：因 ，且和均收斂，所以由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂． 68． 應(yīng)用級(jí)數(shù)理論證明極限： （1） ；（2） .分析 如果級(jí)數(shù)收斂，則，這個(gè)結(jié)果稱為級(jí)數(shù)收斂的必要條件．把數(shù)列的通項(xiàng)看成某級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，而對此級(jí)數(shù)的收斂性的判別又較容易，則由級(jí)數(shù)收斂的必要條件，立即得出數(shù)列的極限．證 （1）考慮級(jí)數(shù)， 由于，所以級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知． （2）考慮級(jí)數(shù)，由于所以級(jí)數(shù)收斂，由級(jí)數(shù)收斂的必要條件即知 ．69．證明：若收斂，則收斂．分析 這是一個(gè)抽象的數(shù)列和級(jí)數(shù)，且條件類型相當(dāng)于知道相鄰兩項(xiàng)的估計(jì)，由此可得任意兩項(xiàng)差的估計(jì)，故考慮用Cauchy收斂準(zhǔn)則．證明：由于收斂，則由Cauchy收斂準(zhǔn)則，對，存在，當(dāng)時(shí)，對任意的正整數(shù)，成立，因而， ，再次用數(shù)列收斂的Cauchy收斂準(zhǔn)則得：收斂．70．設(shè)收斂且，證明：．證明：記的部分和為，則 取極限即可得到結(jié)論．注．從證明過程中發(fā)現(xiàn)，除去定量關(guān)系，上述結(jié)論的逆也成立，即在條件下若收斂，則也收斂．同樣，在，都收斂的條件下，也收斂．71. 判斷斂散性．解 利用函數(shù)泰勒展開 故， ，因而，該級(jí)數(shù)收斂．
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1