第二節(jié)正項級數(shù)審斂法-資料下載頁
2025-09-19 13:56本頁面
【導(dǎo)讀】的每一項都是非負數(shù),,un0?顯然,正項級數(shù)的部分和{sn}數(shù)列是單調(diào)增加的，分和數(shù)列{sn}有界.故{sn}有界，所以原級數(shù)收斂.定理2設(shè)和都是正項級數(shù)，且當時，有成立，自然數(shù)N，使當時，有（k>0)成立，的斂散性.常數(shù)p>0.公比后一級數(shù)是幾何級數(shù)，???
【正文】 )1(111usss sunnnnnn??????????且有：的部分和級數(shù)1|| ??? nn ur足收斂的兩個條件上式也是交錯級數(shù)，滿.1)1( 41 11 的斂散性討論交錯級數(shù)例 ?????nnn1 11131211 ?????????nn uunn即：解：由題可知??01l i ml i m ?????? nunnn又：1 1)1( 11??? ????snnn故是收斂的，其和，符合萊布尼茲定理條件三、絕對收斂與條件收斂 任意項級數(shù) ：一般的級數(shù)，它的各項為又有正數(shù)，又有負數(shù)的任意實數(shù) . 定義 (1)如果級數(shù)的各項絕對值所組成的級數(shù)收斂，則稱原級數(shù)絕對收斂 ； (2)如果級數(shù)收斂，而它的 各項絕對值所組成的 級數(shù)發(fā)散 ，則稱 原級數(shù)條件收斂 . 定理 2 如果任意項級數(shù) ?? ????????nnn uuuu 211的各項 絕對 值組成的級數(shù) ?? ????????|u||u||u||u| nnn 211收斂 ，則 原級數(shù)必定收斂 . )1 , 2 , 3 ,( )|(|21 )|(|21??????nuuWuuVnnnnnn ，證明：取即： Vn= 0)( 0 0)( ??nnnuu|u|Wn= 0)( 0)( 0??nnnu|u|u|u|W|。u|V nnnn ????? 0 0. ||111都收斂和收斂， ??? ???????nnnnnn WVu?注意 ： (1)由于 任意項級數(shù) 各項的 絕對值 組成的級數(shù)是 正項級數(shù) ，一切判別 正項級數(shù) 斂散性 的判別法，都可以用來判定任意項級數(shù)是否 絕對收斂 . . || ||, ( 2 )11111而不能判斷它必為發(fā)散非絕對收斂，發(fā)散時，我們只能判斷但當收斂，那么如果???????????????nnnnnnnnnnuuuuu 任意項級數(shù) .絕對收斂定理 9 如果 任意項級數(shù) 滿足條件?? ????????nnn uuuu 211 luunnn????||l i m 1則 :當 l1時，級數(shù) 絕對收斂 ， 當 l 1時，級數(shù) 發(fā)散 . .!)1(3!32!21!)1( 14321絕對收斂證明級數(shù)例?? ????????????nnnnnnnnnnnnnnnnnnnuu!)1()!1(l i m||l i m11?????????證：11)11(1l i m)1(l i m ?????????? ennnnnnn.!1 1絕對收斂）（級數(shù) ?????n nnnn. 151的斂散性判定級數(shù)例 ???nnnxnxnxuunnnnnn ||1||l i m||l i m11 ????????證：||||1l i m xxn nn?????? 1||1絕對收斂；時，當 ????nnnxx 發(fā)散；時，當 ????11|| nnnxx 1 111為調(diào)和級數(shù)發(fā)散；時，當 ????????nnnnnxx. 1111為交錯級數(shù)條件收斂）（時，級數(shù)當 ??????????nnnnnnxx. 1611 的斂散性判定級數(shù)例 ????nnnx11||||)1(l i m||l i m????????nnnnnn xnxnuu證：||||)11(l i m xxnn??????絕對收斂；時，級數(shù)當 ??????111||nnnxx)0l i m1|| .1|| 11?????????nnnnuxnxx時，當（發(fā)散時，級數(shù)當
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